文档介绍：1第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小与无穷大第四节极限运算法则2利用极限的定义可以验证一个函数在某一极限过程是否以常数A为极限,一般来说是比较繁琐的。但今后遇到的最多的问题是判断一极限过程中函数有没有极限?,这就要用到极限的运算法则。本节介绍的几个定理,不仅可以用来求一些函数的极限,也可以用来判断某些函数的极限是否存在,、:注意:无穷小与很小的数的区别。定义:如果当(或)时函数的极限为零,那么叫做(或)????1nnx??x????x?0x x???x?0x x?x??4在的变化过程中是否为无( )f x x穷小量,与x 的变化趋势有关。1, ( ) 0;x f xx?? ??10 ( ) ,10 ( )x f xxx f xx??? ????? ????而当,,如当5其中?(x) 为0xx?时的无穷小量. 定理.( 无穷小与函数极限的关系)Axfxx??)(lim0??Axf)(??,x?证:Axfxx??)(lim0,0,0??????当????00xx时,有???Axf)(??( )x f x A?? ?0lim0???, 有??,,min21????: (x) 0 ,x x???0lim (x) 0 ,x x???,0???,01???当100????xx时, 有2(x) 0??? ?,02???当200????xx时, 有2(x)???取则当????00xx???????22??????)(lim0?????xx这说明当0xx?时,???:无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如,?????????????????nnnnnn2221211lim?1?类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小. (P57,题3)8定理2 .:设1 0 1(x) 0, 0, ( , ),u M x x? ?? ??????局部有界,( )u x M?又设0lim ( ) 0,x xx???即,0???,02???当),(20?xx???时, 有( )xM???取??,,min21????则当),(0?xx???时, 就有( ) ( )u x x??( ) ( )u x x?MM??? ??故0lim ( ) ( ) 0,x xu x x???即( ) ( )u x x?是0xx?. 求下列无穷小的和的极限n??解:)]1(21[1)1(3?????nnxn??lim 0nnx??? ?limnnx??? ??.1212232323nnnnxn??????、.1213222nnnnxn??????、3 2( 1) 1 1 1 1( )2 2n nn n n n?? ??)]1(21[1)2(23?????nnxn??232)1(nnn??1lim2nnx??? ?)]1(21[1)3(2?????nnxn??2( 1) 1 1(1 )2 2n nn n?? ??.1211333nnnnxn??????、10oyx例2. ??解:1sin?x?01lim???xx利用定理2 可知???xxxsinlimxxysin?说明:y = 0 是xxysin? sin 0xxx???