文档介绍：椭圆1、椭圆的第一定义:平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(PF1PF22aF1F2),,两焦点的距离叫作椭圆的焦距。.注意:若(PF1PF2F1F2),则动点P的轨迹为线段F1F2;若(PF1PF2F1F2),、椭圆的标准方程1).当焦点在x轴上时,椭圆的标准方程:x2y21(ab0),其中c2a2b2;a2b22).当焦点在y轴上时,椭圆的标准方程:y2x21(ab0),其中c2a2b2;a2b2注意:①在两种标准方程中,总有a>b>0,并且椭圆的焦点总在长轴上;②两种标准方程可用一般形式表示:x2y2122。mn或者mx+ny=13、椭圆:x2y21(ab0)的简单几何性质a2b2x22(1)对称性:对于椭圆标准方程y1(ab0):是以x轴、y轴a2b2为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。(2)范围:椭圆上所有的点都位于直线xa和yb所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足xa,yb。(3)顶点:①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆x2y21(ab0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为A1(a,0),A2(a,0),a2b2B1(0,b),B2(0,b)。③线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,A1A22a,B1B22b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。2cc。②因为(4)离心率:①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e表示,记作e2aa(ac0),所以e的取值范围是(0e1)。e1c就越接近a,从而ba2c2越小,因e越接近,则a此椭圆越扁;反之,越接近于0c0,从而b越接近于,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当ab,就越接近时,c0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为x2y2a。注意:椭圆x2y21的图像中线段的几何特征(如下图):a2b2x2y2假设已知椭圆方程1(a0,b0),且已知椭a2b2圆的准线方程为xa2,试推导出下列式子:(提示:用三角c函数假设P点的坐标PF1PF2ePM1PM214、椭圆的另一个定义: 到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。即上图中有PF1PF2ePM1PM25、椭圆x2y21与y2x21(ab0)的区别和联系a2b2a2b2标准方程x2y21(aby2x21(ab0)a2b20)2b2a图形焦点F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)焦距F1F22cF1F22c范围xa,ybxb,ya对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(a,0),(0,b)(0,a),(b,0)性质长轴长=2a,短轴长=2b轴长离心率ec(0e1)焦半径PF1aex0,PF2aex0PF1aey0,PF2aey0一般而言:椭圆有两条对称轴,它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线;椭圆都有四个顶点,顶点是曲线与它本身的对称轴的交点;离心率确定了椭圆的形状(扁圆形状),当离心率越接近于0,椭圆越圆;当离心率越接近于1时,椭圆越扁。,消元后得到一元二次方程,然后通过判别式来判断直线和椭圆是否相交、相切或相离。消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标,通常是写成两根之和与两根之积的形式,这是进一步解题的基础。椭圆方程的求解方法要学会运用待定系数法来求椭圆方程,即设法建立a,b或者e,c中的方程组,要善于抓住条件列方程。先定型,再定量,当焦点位置不确定时,应设椭圆的标准方程为x2y21(ab0)或y2x21a2b2a2b2(ab0);或者不必考虑焦点的位置,直接把椭圆的标准方程设为x2y21或者mx2+ny2=1mn(m0,n 0,mn),这样可以避免讨论及繁杂的计算,当已知椭圆上的两点坐标时这种解题更方便。21 1 2 2但是需要注意的是 m和n(或者 和 )谁代表a,谁代表b 要分清。不要忘记隐含条件和方程,例如:a2b2c2,ec等等。不同的圆锥曲线有不同的隐含条件和方程,切勿弄混。,即使画不出图形,思考时也要联想图形,注意数形结合法的使用,切勿漏掉一种情况。【典型例题】1、椭圆的定义例1、已知F1(-8,0),F2(8,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=16,则点P的轨迹为()A圆B椭圆C线段D直线2、椭圆的标准方程例2、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为10,短轴长为6;(2)长轴是短轴的2倍,且过点(2,1);(3)经过点(5,1),(3,2)3、离心率例3、椭圆x2y21(ab0)的左右焦点分别是F1、F2,过点F1作x轴的垂线交椭圆于P点。a2b2