文档介绍：微分几何主讲人:郭路军第二章曲面论内容提要1、曲面的概念(简单曲面、光滑曲面、切平面和法线)2、曲面的第一基本形式(第一基本形式、曲线的弧长、正交轨线、曲面域的面积、等距变换、保角变换)3、曲面的第二基本形式(第二基本形式、曲面曲线的曲率、杜邦指标线、渐近线、曲率线等)4、直纹面和可展曲面(直纹面、可展曲面)5、曲面论的基本定理(基本方程、基本定理)6、曲面上的测地线(测地曲率、测地线、高斯—波涅公式、曲面上向量的平行移动)7、常高斯曲率曲面(常高斯曲率的曲面、伪球面、罗氏几何)该点处这两条坐标曲线的切向量为:、曲面的切平面和法线一、光滑曲面、正常点、正规坐标网2、过曲面上一点(u0,v0)有一条u--曲线:r=r(u,v0)和一条v—曲线:r=r(u0,v)如果它们不平行,即ru×rv在该点不为零,则称该点为曲面的正常点。3、正规坐标网由ru,rv的连续性,若ru×rv在(u0,v0)点不为零,则总存在该点的一个邻域U,使在这个邻域内有ru×rv不为零,于是在这片曲面上,有一族u线和一族v线,它们不相切,构成一正规坐标网。命题1曲面在正常点的邻域中总可用显函数的形式表示,即有z=z(x,y).不妨设第一个不为0,即证:事实上,ru×rv在(u0,v0)点不为零,则由上面论述,总存在该点的一个邻域U,使在这个邻域内有ru×rv不为零,故的坐标中的三个二级子式中至少有一个不为0,代入得z=z[u(x,y),v(x,y)]=z(x,y)。由隐函数定理,x=x(u,v),y=y(u,v)在U中存在唯一的单值连续可微函数u=u(x,y),v=v(x,y),这条曲线在曲面上(u0,v0)处的切方向称为曲面在该点的切方向或方向,切方向仅与du:dv有关(P63)二、曲面的切平面设曲面曲线为(c):u=u(t),v=v(t),或r=r[u(t),v(t)]=r(t),1、切平面的定义这个平面我们称作曲面在该点的切平面。3、切平面的方程或写成坐标表示式三、法方向与法线1、定义:曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的法方向,过该点平行于法方向的直线称作曲面在该点的法线。rurvru×rvr0R-r0=(ru×rv)t2、法线的方程设法线上任一点R(u,v)rurvru×rvRr0R–r0//ru×rv