文档介绍：光滑曲面曲面的切平面和法线
一光滑曲面,正常点,正规坐标网
1 类曲面: 如果曲面的分量函数有直到k阶的连续偏导数,则称为k阶正则曲面或称为类曲面.
2 光滑曲面:.
3 正常点: 对曲面S上一点,过的u-曲线:,其切向量为,过的v-曲线:,其切向量为,如果,则称为正常点,或正则点。以后我们只讨论曲面的正常点。曲面上的点如果都是正常点,则曲面叫做正则曲面.
在球面的参数方程中, 是球面的不正常点。因球面上点都是一样的,所以一个点是否为正常点与参数的选取或坐标系的选取有关系.
4 正规坐标网
因为曲面是光滑的,所以都连续,故在曲面S的正常点的某个邻域U内,都有。这样在U对应的这片曲面上的每一点有唯一的一条u-线和唯一的一条v-线,.
5 命题1 在曲面的正常点的邻域内,曲面的参数方程总可以写成z=z(x,y) (或x=(y,z) 或y=y(x,z))。
证明因在正常点的邻域内,所以的秩为2 ,若,则x = x (u,v), y = y (u,v)存在连续可微的函数u = u (x,y), v = v (x,y), 带入z = z (x,y)即得z = z (x,y) 。
二曲面的切平面和法线
1 曲面的切平面定义
设曲面S的方程为,由 u = u (t) ,v = v(t)或,在曲面S上确定一条曲线,在曲面上点处的切方向称为曲面S在该点的一个切方向。这个切方向可用下述向量表示, 称为曲面S上的一个切向量或向量。
在曲面S的正常点处, 因,所以决定唯一一个平面,由表明,曲线在的切线在平面上,由的任意性有:
命题2 曲面上正常点P处的所有切线都在由P和决定的平面上。
定义由曲面上点P和过P的两条坐标曲线的切向量决定的平面称为曲面在P点的切平面。
注:因,所以曲面的切方向完全依赖于
与的比值du:dv, 因此以后谈到曲面的方向时,就是指给出了du:dv.
2 曲面的切平面方程的求法
设为曲面上一点,为过点的切平面上任一点的径矢,则曲面在点的切平面方程是: 。
切平面方程用行列式表示为:

对于曲面z = z(x,y) ,
,在点的切平面为
即
3 曲面的法线的定义和法线方程
定义曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的法方向。过这点平行于法方向的直线称为曲面在该点的法线。
显然,曲面的法方向量,设曲面上一点的径矢是,为法线上任一点的径矢,则法线方程为(t为参数)。坐标表示的标准方程是:
例求圆柱面在任一点的切平面和法线方程。
三曲纹坐标变换、曲面的正侧
如果曲纹坐标(u,v)变为新的曲纹坐标: ,则得到曲面关于新坐标的方程,上式称为曲纹坐标变换。,可见,若,则对于新的坐标仍然成立。
对于的变换,它使新的法向量平行于原来的法向量。
定义若限制参数变换的行列式,则法向量的正向保持不变。在这样的限制下,我们称法向量的正向为曲面的正侧。
注1. 因