文档介绍：高等数学-上册-第一章总结函数极限与连续本章重点(importantpoints):了解极限的定义(重点是理解极限定义中的“任意”和“存在”,以及N与ε的相关性;动态变化性)及求法,定义要从代数及几何两方面进行理解。理解以及运用两个重要的极限公式(及其拓展形式)。无穷小理论及其运用(主要是等价无穷小代换,在求极限以及一些证明题中会经常用到,soitisalsoimportant!)。函数的连续(这是以后很多公式定理运用的条件,所以必须掌握地verygood!)。分段函数的连续性,可导性,及其极限值的求法。知识点分析(analysis):常用不等式绝对值不等式:x-y≤x±y≤x+y三角不等式:x-z=x-y+y-z≤xy+yzBernoulliInequality(贝努力不等式):若x>-1,n∈z,且n>=2则1+xn≥1+nx4)CauchyInequality(柯西不等式):(i=1nxiyi)2≤i=1nxi2∙i=1nyi25)e x≥1+x6)ln(1+n)≤x7)1+1nn<1+1n+1n+1&&1+1nn+1>1+1nn+2即:数列{1+1nn}单调递增,数列{1+1nn+1}单调递减。8)设x∈z+,则1x+1<ln1+1n<1x9)设x∈z+,则12n<1*3*5*…*(2n-1)2*4*6*…..*2n<12n+(i=1nxiyi)2≤i=1nxi2∙i=1nyi2证法一:(构造一个关于t的二次方程,并利用其判别式)因为xi,yi∈R,i=1,2,3…..,∀t∈R,有xi+tyi2≥0.→ft=i=1nxi+tyi2=i=1nxi2+2i=1nxiyit+i=1nyi2t2≥0若i=1nyi2=0,则。。。。。。若i=1nyi2>0,则有判别式∆≤0故4(i=1nxiyi)2≤4i=1nxi2∙i=1nyi2≤0→(i=1nxiyi)2≤i=1nxi2∙i=:。。。(主要是解有关幂指型函数的题)。。(无穷小乘以一个有界函数结果是无穷小;无穷大加无穷大不一定等于无穷大;):若对(不论多么小),总自然数,使得当时都有成立,这是就称常数是数列的极限,或称数列收敛于,记为,或()。如果数列没有极限,就说数列是发散的。注:1:是衡量与的接近程度的,除要求为正以外,无任何限制。然而,尽管具有任意性,但一经给出,就应视为不变。(另外,具有任意性,那么等也具有任意性,它们也可代替)2:是随的变小而变大的,是的函数,即是依赖于的。在解题中,等于多少关系不大,重要的是它的存在性,只要存在一个,使得当时,有就行了,而不必求最小的。。证明:对,因为,因为(此处不妨设,若,显然有)所以要使得,只须就行了。,当时,因为有 ,所以。注:有时找比较困难,这时我们可把适当地变形、放大(千万不可缩小!),若放大后小于,那么必有。,证明的极限为0,即。证明:若,结论是显然的,现设,对,(因为越小越好,不妨设),要使得,即,只须两边放对数后,成立就行了。因为,所以,所以。取,所以当时,有成立。定理1:(唯一性)数列不能收敛于两个不同的极限。证明:设和为的任意两个极限,下证。由极限的定义,对,必分别自然数,当时,有…(1)当时,有…(2)令,当时,(1),(2)同时成立。现考虑:由于均为常数,所以的极限只能有一个。注:本定理的证明方法很多,书上的证明自己看。若,,则若,则定理2.(有界性)若数列收敛,那么它一定有界,即:对于数列,若正数,对一切,有。证明:设,由定义对自然数当时,,所以当时,,令,显然对一切,。注:本定理的逆定理不成立,即有界未必收敛。例如数列是有界的(),但函数收敛。此点希望注意!(i)若,则使得对恒有(ii)若,则当时,有(iii)若,则当时,有(3)局部保号性(i)若且则,当时,恒有(ii)若,且,则当时,:定义1:如果对(不论它多么小),总,使得对于适合不等式的一切所对应的函数值满足:,就称常数为函数当时的极限,记为,或(当时)注1:“与充分接近”在定义中表现为:,有,即。显然越小,与接近就越好,此与数列极限中的所起的作用是一样的,它也依赖于。一般地,越小,相应地也小一些。2:定义中表示,这说明当时,有无限与在点(是否有)的定义无关(能够无定义,即使有定义,与值也无关)。3:几何解释:对,作两条平行直线。由定义,对此。当,且时,有。即函数的图形夹在直线之间(可能除外)。换言之:当时,。从图中也可见不唯一!定理1:(保号性)设,若,则,当时,。若,必有。证明:(i)先证的情形。取,由定义,对此,当时,,即。当时,取,同理得证。(ii)(反证法)若,由(i)矛盾,所以。当时,类似可证。注:(i)中