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一类连续正交投影算子的表示定理
(孝感学院数学与统计学院, 湖北孝感 432000)
摘要: 本文首先给出单一正交投影算子使用矩阵或线性变换的表示方法,然后在此基础上给出一类连续正交投影算子的表示定理.
关键词: 投影算子;投影矩阵;正交投影算子;正交投影矩阵;幂等矩阵
The representation theorem of a class of continuous orthogonal projection operator
Han Jiping(051114308)
(Xiaogan College School of Mathematics and Statistics,Hubei Xiaogan 432000)
Abstract: The paper first gives a single operator using the orthogonal projection matrix or linear transformation method,and then on this basis is given for a class of continuous orthogonal projection operator of the representation theorem..
Keywords: Projection operator; Projection matrix; Orthogonal projection operator; Orthogonal projection matrix; Idempotent matrix
0 引言
投影算子及投影矩阵有着广泛的应用,如在实际问题中出现的求最小平方偏差,,对它的研究具有理论上的意义.
考虑实数域上的一个维线性空间,.有分解式,,,且,则称为在上的正交投影变换或正交投影算子.
对于的一组标准正交基,这里我们设
,,…,
取的一组标准正交基,
,
我们设为基到基的过渡矩阵,,于是在标准正交基下的矩阵为
另一方面,由于为正交矩阵,故有,于是又有
.由此本文首先给出单一正交投影子的表示方法,(连续正交投影算子)的表示方法.
1 基本概念
定义 1[1] 矩阵称为正交投影矩阵,如果它是对称幂等阵,即满足
,.
定义 2 设是维欧氏空间,为中某一单位向量,定义线性变换,我们称为在子空间上的正交投影算子.
定义 3 是维欧氏空间,其子空间有上的正交投影变换,称为连续正交投影算子或连续正交投影变换.
定义 4[2] 设是一个数域, ,若有矩阵使,则称为的一个逆,记为.
2 定理及证明
定理 1 是维欧氏空间,为的任意一组标准正交基.
(1)若为正交投影矩阵,则存在唯一线性变换在上述基下对应的矩阵为,且
()()
是在上的正交投影变换;
(2)若,是在上的正交投影变换,它在上述基下矩阵为,则为正交投影矩阵.