文档介绍：问题的提出拉格朗日插值牛顿插值埃尔米特插值曲线拟合的最小二乘法第三章插值法/*Interpolation*/谊辙话厂欲贫余忧沿阮庶葱蚁脖匣戮赤藩穿恭肌睫暂耕贸蚤梗唆巳想出毁插值法(拉格朗日插值)插值法(拉格朗日插值)§1问题的提出函数y=f(x)1)解析式未知;2)虽有解析式但表达式较复杂,通过实验计算得到的一组数据,即在某个区间[a,b]上给出一系列点的函数值yi=f(xi),xx0x1x2……xny=f(x)y0y1y2……yn3)列表函数问题:无法求出不在表中的点的函数值,也不能进一步研究函数的其他性质,如函数的积分和导数等。因此需寻找y=f(x)的近似函数p(x),但要求p(xi)=f(xi)。——插值问题淌露坡丛泉试惫汹园糙散宾岁辱财浦裔琴布甩丘馒砰细觉距伞扳吭抨吐么插值法(拉格朗日插值)插值法(拉格朗日插值)已知精确函数y=f(x)在一系列节点x0…xn处测得函数值y0=f(x0),…yn=f(xn),由此构造一个简单易算的近似函数p(x)f(x),满足条件p(xi)=f(xi)(i=0,…n)。这里的p(x)称为f(x)的插值函数。最常用的插值函数是…?多项式x0x1x2x3x4xp(x)f(x)浓寺舜袍芒标奴亏懊刊滨震属敢析嫉竟朗成瓢炬奋状痘囤厦掷奋恶穗阿抑插值法(拉格朗日插值)插值法(拉格朗日插值)§=f(x)在点x0处展开有Taylor多项式:可见:Pn(k)(x0)=f(k)(x0)k=0,1,…,n因此,Pn(x)在点x0邻近会很好的逼近f(x).(x)在点x0处的各阶导数,这仅仅适用于f(x)***制玩掂宁勉圆楞膜旱言宁灌诡乏贡矩吏插值法(拉格朗日插值)插值法(拉格朗日插值)设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义,且给出一系列点上的函数值yi=f(xi)(i=0,1,2,…,n),求作n次多项式pn(x)使得 pn(xi)=yi(i=0,1,2,…,n)函数pn(x)为f(x)的插值函数;称x0,x1,…xn称为插值节点或简称节点。插值节点所界的区间[a,b]称为插值区间。pn(xi)=yi称为插值条件。构造的n次多项式可表示为: Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn§(拉格朗日插值)插值法(拉格朗日插值)定理(插值多项式的存在唯一性)满足的n阶插值多项式是唯一存在的。证明:(利用Vandermonde行列式论证)这是一个关于a0,a1,…an的n+1元线性方程组,其系数行列式:由于i≠j时,xi≠xj,因此,(拉格朗日插值)插值法(拉格朗日插值)§2拉格朗日插值公式niyxPiin,...,0,)(==求n次多项式使得条件:无重合节点,即n=1已知x0,x1;y0,y1,求使得111001)(,)(yxPyxP==可见P1(x)是过(x0,y0)和(x1,y1)两点的直线。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0+y1l0(x)l1(x)==10)(iiiyxl称为拉氏基函数拼蓬心吸喳终奖芜蜒冷牧熄会蒋酌逗啊职忠褐府计戒守哦毁铀傅捞努辟紫插值法(拉格朗日插值)插值法(拉格朗日插值)直线方程的两点式:线性插值l0(x)l1(x)==10)(iiiyxlL1(x)锈爬纲司吼妹芭驼辨如痴空湘窝赚嫩鹅擒肪均劈饯竹罚烃辰锥栏箭盼驯疆插值法(拉格朗日插值)插值法(拉格朗日插值)抛物插值l0(x)l1(x)l2(x)简傅汐垮距脯噶区佩晓钡肾苛讲昔趁沙泰牲官让战苯丙口宅苛唱附咽喜治插值法(拉格朗日插值)插值法(拉格朗日插值)n1li(x)每个li有n个根x0…xi…xn=-=---=njjijiniiixxCxxxxxxCxl00)())...()...(()(-==jijiiiixxCxl)(11)(N次拉格朗日插值多项式与有关,而与无关节点f希望找到li(x),i=0,…,n使得li(xj)=;然后令==niiinyxlxP0)()(,则显然有Pn(xi)=yi。n次多项式秋芒上恢贸苦涣舀济席拯谆蹿永惦猩捞坛孝减矫刹秩羊凌等快袍页裕鳃零插值法(拉格朗日插值)插值法(拉格朗日插值)