文档介绍：利用龙格-库塔法求解质点运动常微分方程1、待解问题讨论常微分方程的初值问题,边值问题的数值解法,最常用的基本方法就是龙格-库塔法使一些物理方程的计算简便,所得结果的精确提高。下面是利用龙格-库塔法求解一个质点运动的常微分方程以初速自地球表面(半径)竖直向上发射一质量为m的火箭,如图所示。若不计空气阻力,火箭所受引力F大小与它到地心距离的平方成反比,求火箭所能到达的最大高度H。火箭为我们分析的对象,对其做受力分析,火箭在任意位置x处仅受地球引力F作用。由题意知,F的大小与x2成反比,设为比例系数,则有:(1)当火箭处于地面时,即时F=mg,由式(1)可得,于是火箭在任意位置x处所受地球引力F的大小为由于火箭作直线运动,火箭的直线运动微分方程式为:分离变量积分                            2、-库塔法的基本思想及一般形式设初值问题,由微分中值定理可知,必存在,使设,并记,则其中称为在上的平均斜率,只要对平均斜率提供一种算法,上式就给出了一种数值解公式,例如,用代替,就得到欧拉公式,用代替,就得到向后欧拉公式,如果用的平均值来代替,则可得到二阶精度的梯形公式。可以设想,如果在上能多预测几个点的斜率值,用它们的加权平均值代替,就有望的到具有较高精度的数值解公式,这就是龙格-库塔(Runge-Kutta)法的基本思想。龙格-库塔公式的一般形式:(1)其中是在点的斜率预测值;均为常数,选取这些常数的原则是使(1)式有尽可能高的精度。-库塔法的龙格-库塔公式为:(2)式中均为待定常数,我们希望适当的选取这些系数使公式的精度尽可能高,先将按照二元函数泰勒级数:展开得到:为了叙述方便,把和偏导数里面的省略不写,将代入(2)式的第一式,得:再用泰勒公式将展开,先计算得到以下各式:再代入泰勒公式中:得到局部阶段误差为:要使局部截断误差为,的系数需为零,于是该方程组有4个未知数3个方程,所以有无穷多个解,它的每组解代入(2)式得到的近似公式都为二阶龙格-库塔方法。例如,取,得到近似公式为:此处参数还有许多种不同的值,这里不再举例说明。3、四阶龙格-库塔法四阶龙格-库塔法的表达形式如下:仿照二阶龙格-库塔法的解法,通过N=4阶的泰勒级数的系数匹配,使局部截断误差为,得到11个方程和13个未知量,因此需要补充两个条件,求解得到。最后得出经典的四阶龙格-库塔公式:三、数值计算方案微分方程用积分可以解得火箭达到的高度,但是如果用数值方法解微分方程,所得的结果要精确得多。所以对于模型中的微分方程,用四阶龙格-库塔法对其求解所得结果精度更高,该方法还可以应用更为复杂的微分方程,如布朗动力学运动方程,但是对于高阶的微分方程,需对其降阶再。上述模型中,地球半径取千米,火箭到达最大高度处的速度为0,设当时所对应的火箭距离地球球心的高度为,那么即为火箭能达到的最大高度。对于以下微分方程及其初值可知         ,利用上述所求的四阶龙格-库塔公式得到该模型的龙格-库塔式子:根据题目,有初值,,=