文档介绍：中文摘要摘要本文讨论了有限群的自同构群研究中较为常见的一些方法,并归纳了几类特殊的有限群的构造,以及它们的白同构群的刻划。印2阶群共有五类,其自同构群分别为(1)AutC2。z兰哆xCe一1;(2)Aut(Cp×qxG)兰GL(2,巴):(3)AutD2,:兰Holqz;(4)AutGj兰HoI(Cp×q):(5)AutG兰HolqxAutG兰HolG×c,∥2pq阶群共六类,其自同构群分别为(1)AutG月兰q—I×G“(2)AutGi兰HolCpq(i=1,2,3);(3)AutG兰HolCp(j=4,5)a关键词:有限群;自同构群英文摘要ABSTRACTInthispaper,,andthestructureoftheirautomorphismgroupsare(1)AutC2,z兰q×啄l;(2)Aut(Cp×qxc2)=GL(2,‘);(3)AutD2。zHolCpz:(4)AutG,Hol(Cp×q)(5)AutG2兰HolqxAutq兰Holq×q_10Thefinitegroupoforder2pqcanbeclassifiedintosixclasses,andthestructureoftheirautomorphismgroupsare(1)AutC2月兰q—l×q—l;(2)AutGi兰Holc刍(f=1,2,3)(3)AutGj兰HolCp(江4,5)。Keywords:finitegroup;automorphismgroup基本知识一、基本知识研究有限群的自同构群是非常重要而又因难的,这是因为群论中的许多深刻技术(如群在群上的作用以及群表示等)都有赖于对自同构群的认识,而自同构群的计算又十分困难。在许多问题中,自同构群的研究可归结为p-群的情形。在群论的众多分支中,有限群论无论从理论本身还是从实际应用来说都占据着更为突出的地位。同时,它也是近年来研究最多、最活跃的一个数学分支。经过很多数学家的努力,在有限群中取得了一连串的突破,于上世纪八十年代解决了著名的有限单群分类问题。这项重大的科学成果从1832年Galois证明交错群丘是单群算起,经过了150年。人们使用了抽象群论、表示论、几何以及组合论和图论的方法,共发表了数于页以上的论文,最终证明了有限单群共有十八个无限族和二十六个零散单群。设G是群,用AutG表示G的自同构群,InnG表示G的内自同构群,G的中心记为c(G),生成元为口的循环群记作<口>,如果G是有限群,用lGI表示G的阶,a￡G用o(a)表示元素d的阶,胛阶循环群记为e。关于自同构群的研究主要有两个方面,其一是给定群G求解同构式AutX兰G中的群x;其二是给定群G求AutG的有关信息。,且IGl=2p2,P为素数,Ⅲ,IJG只有唯一的sylowp一子群。证明设群G的sylowp一子群有七个,则k=l或2,若k=2,由第四sylow定理知2-;l(modp),则P12-1,矛盾。因此G只有唯一的sylowp一子群。证毕定义1一定义群G为群A被B的扩张,如果A是G的正规子群,并且G/A兰B。=<a>是m阶有限循环群,当群一被曰扩张为G时,则G关于一的(左)陪集分解之代表元素令为1,go,配,?,簖~,使彳有一个自同构某些特殊有限群的自同构盯∞;=±矿=爵1%)及单位元“(簖=“)具有下面二性质:盯”=1,“4=“。,b的阶为玎,则当ab=ba,且∞,n)=1时,有o(ab)=埘以。“1阶为2p2(P为奇素数)的群G有如下五型:(i)c2,z;(ii)q×巴×c2;(iii)D2。:=<日,6ld92=b2=l,6—1曲=口一1>(2p2阶二面体群);(iV)Gl=(口,6,cI口9=69=c2=1,b-la6=a,c-lac=a-l,c-Ibc=6—1);(V)G2=(口,b,cId’=6’=c2=l,b-la6=a,c-lac=a,c-1bc=6—1);证明1、若G中有2p2阶元素,则G为循环群,为(i)型群;2、若G不是循环群,因为IGl-2p2,,则A为P2阶循环群或4=<d>×<b>,口,6均为P阶元素,且可交换。(1)若A为P2阶循环群,设爿=<口>,则口,=1。此时,G为P2阶循环群4被2阶群的扩张,因G中阶为2的