文档介绍：莫雷三角形性质研究谭周兴,李明真(北京航空航天大学数学与系统科学学院北京100083)摘要:莫雷在1904年提出了优美的莫雷定理,而本篇文章介绍了与之相关莫雷三角形的一些性质的研究结果。包括莫雷定理、外角三平分线的莫雷定理、莫雷三角形一些性质分析的总结。关键词:莫雷定理;莫雷三角形;外角三等分引言“尺规三等分已知角”是著名的古典几何三大问题之一,历经两千多年,不少人经过无数次的尝试结果都失败了。直至1837年,万芝尔首先证明尺规三等分已知角是不可能的。正因为如此有的数学家认为:长期以来人们忽视了对三等分角的性质的研究。19世纪末、20世纪初是初等几何研究的复兴时期之一,这期间数学工作者及爱好者曾提出一些十分漂亮的定理。其中有一条被誉为“最令人神往和惊讶”的著名定理,是由英国数学家F·Morley于1904年提出的下述定理:将任意三角形ABC的每个角三等分,设PQR为这些角的三等分线的交点,则△PQR是正三角形。这为我们提供了许多灵感,利用geogebra等画图软件可以对三角形的每种角进行三等分,综合各种情况,能够观察到许多令人惊讶的性质。如关于三角形外角的莫雷定理:将任意三角形ABC的每个角的外角三等分,设PQR为这些角的外角的相邻三等分线的交点,则△PQR是正三角形。如:三角形一内角与另两个外角的三等分线(或其反向延长线)两两相交所得的三角形为等边三角形等优美的结论,下文着重介绍这些性质及其证明。Ⅰ、莫雷定理及其证明定理1(莫雷定理):将任意三角形ABC的每个角三等分,设EDF为这些角的三等分线的交点,则△EDF是正三角形。证明:设三角形三个角ABC分别为3α、3β、3γ,∵AE:AC=sinγ:sin(α+γ),AF:AB=sinβ:sin(α+β),AB:AC=sin3γ:sin3β,∴AE:AF=(ACsin(α+γ)/sinγ):(ABsin(α+β)/sinβ),又有sin3γ:sin3β=(sinγsin(60°+γ)sin(60°-γ)):(sinβsin(60°+β)sin(60°-β)),∴AE:AF=sin(60°+γ):sin(60°+β),∴在△AEF中,∠AEF=60°+γ,同理∠CED=60°+α,∴∠DEF=60°,∴△.Ⅱ、外角形式的莫雷定理及其证明[1]定理2:三角形各外角的三等分线中(各有两个共六条),靠近每边的两条的交点构成正三角形。证明[1]:设△ABC的∠A=3t,∠B=3u,∠C=3v,则t+u+v=60°,∠CAE=u+v=60°-t,∠DBC=t+v=60°-u,∠ACE=∠BCD=t+u,∠DCE=∠ACE+∠ACB+∠BCD=120°+v,∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD=120°-t 同理,∠CEA=120°-u在△ABC内作△BGA,且使∠BAG=t,∠ABG=u,则∠BGA=180°-T-U=120°+V=∠DCE在△BGA,△ABC,△DBC,△CEA中,由正弦定理,分别可得:BG:GA=sint:sinu,BC:CA=sin3t:sin3u,DC:BC=sin(60°-u):sin(120°-t),CE:CA=sin(60°-t):sin(120°-u)所以=·=)==.  从而△BGA∽△DCE,故∠CDE=∠GBA=∠BDF=∠FDE=