文档介绍：1狄拉克符号(Dirac)1狄拉克符号量子体系状态的描述,前述波动力学和矩阵力学两种方法,其共同特点是:与体系有关的所有信息都有波函数给出;极为重要的是波函数可以写成各类力学量的本征函数的线性组合,而展开系数模平方具有力学量概率的含义。问题:能否不从单一角度描述体系,而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念?狄拉克从数学理论方面,构造了一个抽象的、一般矢量--态矢,并引进了一套“狄拉克符号”,简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。??)(xun作为基矢构成希尔伯特空间(以离散谱为例),微观体系的状态波函数?作为该空间的一个态矢,有??nnnua?(1)na即为态矢?在基矢nu上的分量,态矢?在所有基矢??nu上的分量??na构成了态矢在??nu这个表象中的表示(矩阵)???????????????????naaa21?????,,,,**2*1naaa???(2)微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态矢相对应,故称该空间为态空间注意:(1)式中的nu只是表示某力学量的本征态,而抛开其具体表象;(2)式的右方是?的??(标积)的定义设态空间中两个任意态矢A?与B?在同一表象??nu中的分量表示各为??na与??nb,则两态矢内积的定义为??????????????????????nnnnnBAbabbbaaa*21**2*1,,,,??????(3)注意:ABBA????????与??在形式上具有明显的不对称性,狄拉克认为它们应该分属于两个不同的空间?伴随空间2引入符号?,称为右矢[Ket矢,Bra矢(Bracket括号??)]微观体系的一个量子态?用??表示,??的集合构成右矢空间,??在右矢空间中的分量表示可记为矩阵????????????????????naaa21?(4)约定:右矢空间的态矢?,,,BA???一律用字母?,,,???BA???表示力学量的本征态矢一律用量子数??,,,2,1????nlmn,或连续本征值??表示引入符号?,称为左矢微观体系的一个量子态?也可用??表示,但在同一表象中??与??的分量互为共轭复数????,,,,**2*1naaa???(5)??的集合构成左矢空间引入狄拉克符号后,任意两个态矢??BA,的内积定义为同一表象下伴随空间中相应分量之积的和???????nnnnnbababaAB***11|??(6)这里*||?????BAAB???|,|??nu具有离散的本征值??nQ时,对应的本征矢???n|,2|,1|?或?nlm|等,构成正交归一化的完全系,可以作为矢量空间的基矢,作为基矢可表示为?????????????????0011|?????????????????0102|……?????????????????????010|n第n行(7)(1)基矢具有正交归一性mnnm????|(8)(2)展开定理????nnna||?(9)3两边同时左乘|m?得?????????nmmnnnnaanmam??||(10)说明展开系数是态矢在基矢上的分量(3)封闭性把????|nan代入??|中得,????????|||nnn所以1||????nnn(11)称为基矢的封闭性※?时,对应的基矢记为????|(1)正交归一性)(|???????????(12)(2)展开定理??????????da||(13)??????|a(14)(3)封闭性1||???????d(15)注意:?????|,|,|nlmn只表示某力学量抽象的本征矢,例如??x|只表示本征值为x?的力学量x的本征矢,而具体的基矢形式为:x表象中)()(|xxxuxx????????,动量表象中pxipexuxp???????2/1)2(1)(|?,同理)(|xunxn???)(|punpn???1|???nn),,(|???rnlmxnlm???pxiepx??2/1)2(1|???????n|,态矢记为??|或?,|,|??BA,用基矢展开????????????|||1|nnn(16)展开系数????|nan构成??|在?n|表象中的分量,也可写成4?????????????????????????????????????????????????||2|1|21naaan(17)相应的左矢??????nnn|||??(18)?????????????naaan|2|1||**2*1??????(1