文档介绍：1、(2012四川绵阳)如图1,在直角坐标系中,O是坐标原点,点A在y轴正半轴上,二次函数y=ax2+x+c的图象F交x轴于B、C两点,交y轴于M点,其中B(-3,0),M(0,-1)。已知AM=BC。(1)求二次函数的解析式;(2)证明:在抛物线F上存在点D,使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形,并请求出直线BD的解析式;(3)在(2)的条件下,设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点,AC、BD相交于N。①若直线l⊥BD,如图1所示,试求的值;②若l为满足条件的任意直线。如图2所示,①中的结论还成立吗?若成立,证明你的猜想;若不成立,请举出反例。【答案】解:(1)∵二次函数y=ax2+x+c的图象经过点B(-3,0),M(0,-1),∴,解得。∴二次函数的解析式为:。(2)证明:在中,令y=0,得,解得x1=-3,x2=2。∴C(2,0),∴BC=5。令x=0,得y=-1,∴M(0,-1),OM=1。又AM=BC,∴OA=AM-OM=4。∴A(0,4)。设AD∥x轴,交抛物线于点D,如图1所示,则,解得x1=5,x2=-6(位于第二象限,舍去)。∴D点坐标为(5,4)。∴AD=BC=5。又∵AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形,即在抛物线F上存在点D,使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形。设直线BD解析式为:y=kx+b,∵B(-3,0),D(5,4),∴,解得:。∴直线BD解析式为:。(3)在Rt△AOB中,,又AD=BC=5,∴▱ABCD是菱形。①若直线l⊥BD,如图1所示,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD。∴AC∥直线l。∴。∵BA=BC=5,∴BP=BQ=10。∴。②若l为满足条件的任意直线,如图2所示,此时①中的结论依然成立,理由如下:∵AD∥BC,CD∥AB,∴△PAD∽△DCQ。∴。∴AP•CQ=AD•CD=5×5=25。。【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,平行四边形、菱形的判定和性质,平行线间的比例线段关系,相似三角形的判定和性质,分式化简。【分析】(1)利用待定系数法求出二次函数的解析式。(2)首先求出D点的坐标,可得AD=BC且AD∥BC,所以四边形ABCD是平行四边形;再根据B、D点的坐标,利用待定系数法求出直线BD的解析式。(3)本问的关键是判定平行四边形ABCD是菱形。①推出AC∥直线l,从而根据平行线间的比例线段关系,求出BP、CQ的长度,计算出。②判定△PAD∽△DCQ,得到AP•CQ=25,利用这个关系式对进行分式的化简求值,结论为不变。2、(2011乐山)已知顶点为A(1,5)的抛物线经过点B(5,1).(1)求抛物线的解析式;(2)如图(1),设C,D分别是轴、轴上的两个动点,求四边形ABCD周长的最小值;(3)在(2)中,当四边形ABCD的周长最小时,()()是直线上的一个动点,Q是OP的中点,以PQ为斜边按图(2)所示构造等腰直角三角形PRQ.①当△PBR与直线CD有公共点时,求的取值范围;②在①的条件下,记△PBR与△,并求S的最大值。【答案】解:(1)∵抛物线的顶点为A(1,5),∴设抛物线的解析式为,将点B(5,1)代入,得,解得,∴(2)作A关于y轴的对称点,作B关于x轴的对称点,显然,如图(),连结分别交x轴、y轴于C、D两点,∵,∴此时四边形ABCD的周长最小,最小值就是。而,∴四边形ABCD周长的的最小值为。(3)①点B关于x轴的对称点B′(),点A关于y轴的对称点A′(﹣1,5),连接A′B′,与x轴,y轴交于C,D点,∴CD的解析式为:,联立,得:∵点P在上,点Q是OP的中点,∴要使等腰直角三角形与直线CD有公共点,:.②如图:点E(2,2),当EP=EQ时,,得:,当时,当时,.当时,当时,.故的最大值为:.3、(12南充)如图,⊙C的内接⊿AOB中,AB=AO=4,tan∠AOB=,抛物线y=ax2+bx经过点A(4,0)与点(-2,6)(1)求抛物线的函数解析式.(2)直线m与⊙C相切于点A交y轴于点D,动点P在线段OB上,从点O出发向点B运动;同时动点Q在线段DA上,从点D出发向点A运动,点P的速度为每秒1个单位长,点Q的速度为每秒2个单位长,当PQ⊥AD时,求运动时间t的值(3)点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上,当⊿ROB面积最大时,:二次函数综合题;解二元一次方程组;二次函数最值的应用;三角函数和勾股定理的应用;待定系数法求二次函数解析式。专题:计算题;代数几何综合题。分析:(1)点A(4,0)与点(-2,6)代入抛物线y=ax2+bx,得:16a+4b=0a=4a-2b=6