文档介绍：全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛暨福建省高中数学竞赛试卷参考答案(考试时间:5月21日上午9:00-11:30,满分160分)一、填空题(共10小题,每小题6分,满分60分。请直接将答案写在题中的横线上),,若,则实数的取值范围为。【答案】【解答】由,得,,。由,得,,。若,则或,或。∴时,的取值范围为。,且函数为偶函数,当时,,则。【答案】【解答】由函数为偶函数,知。又为奇函数,∴,。∴。,且,若,则。【答案】【解答】由知,。∵为等比数列,且,∴。∴。∴。∴。、乙、丙、丁4个班级,每班至少1个名额,则甲班恰好分到2个名额的概率为。【答案】【解答】将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级,每班至少1个名额的不同分配方案有种。(用隔板法:将8个名额排成一排,在它们形成的7个空挡中插入3块隔板,则每种插入隔板的方式对应一种名额分配方式,反之亦然。)其中,甲班恰好分到2个名额的分配方案有种。(相当于将6个名额分配个3个班级,每班至少1个名额。)所以,所求的概率为。,是边长为的等边三角形,,且二面角的大小为,则三棱锥的外接球的表面积为。【答案】【解答】如图,取中点,连,。由是边长为的等边三角形,知,,,。∴为二面角的平面角,,,。作于,则。∴,,为的外心,三棱锥为正三棱锥。设三棱锥外接球的球心为,半径为。则在直线上,且。∴,,三棱锥的外接球的表面积为。:上一点,、为双曲线的左、右焦点,、分别为的重心、内心,若轴,则内切圆的半径为。【答案】【解答】如图,不妨设点在第一象限,、、分别为与三边相切的切点。则由切线长定理以及双曲线定义,得∴,。设,由为重心,知,。∴,。设内切圆半径为,则。另一方面,。∴,。,内角、、所对的边分别是、、,且,,,则的面积为。【答案】【解答】由,知。∴,。∴,。∴,即。又,。∴,即,解得或。∴,或。∴的面积。(,)在区间上有实根,则的最小值为。【答案】【解答】由知,。∴。∵,∴,当,,时,等号成立。∴的最小值为2。。【答案】【解答】由柯西不等式知,。当且仅当,即,时等号成立。∴的最大值为11。10.、、为圆上不同的三点,且,点在劣弧内(点与、不重合),若(,),则的取值范围为。【答案】【解答】如图,连结交于点。设,则由,得。∵、、三点共线,∴,。不妨设圆的半径为1,作于,由,知。∵,且点在劣弧内(点与、不重合),∴。于是,。∴的取值范围为。另解:如图,以为原点,线段的垂直平分线所在直线为轴建立直角坐标系。不妨设圆半径为2,则由,知,。设。则由,得。∴。∵点在劣弧内(点与、不重合),∴。∴,。∴的取值范围为。二、解答题(共5小题,每小题20分,满分100分。要求写出解题过程)、是关于的方程(1,2,3,…)的两个实根,且。(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的通项公式及的前项的和。(必要时,可以利用:)【解答】(1)依题意,由韦达定理,得,。∴,即。………………5分∴,,,…;和,,,…,都是公差为1的等差数列。又,。∴对,,。即。………………………10分(2)由(1)知,。………………………………15分∴。………………………………:()过点,且离心率为。过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于、两点(、与点不重合)。求证:直线过定点,并求该定点的坐标。【解答】依题意,有,且。解得,。∴椭圆的方程为。……………………………5分易知直线斜率存在,设方程为。由,得………①设,,则,。……………………………10分由知,。∴,即。∴。∴。……………………………15分∴。由直线不过点,知。∴,,直线方程化为。∴直线过定点。……………………………,、分别是圆的切线和割线,其中为切点,为切线的中点,弦、相交于点,弦延长线上的点,满足。求证:、、三点共线的充分必要条件是、、三点共线。【解答一】由为圆的切线知,。又,∴。∴。…………………5分(1)若、、三点共线。(第13题)设直线,交于点。则由塞瓦定理知,。……………………………10分∵,∴,。又点、均在直线上,因此、重合。∴、、三点共线。………………………………15分(2)若、、三点共线。设直线、相交于点。则由塞瓦定理知,。∵,,∴,,为的中点、重合。∴、、三点共线。由(1)、(2)可得,、、三点共线的充分必要条件是、、三点共线。…………………………………………………20分【解答二】由知,、、、四点共圆。∴。由为圆的切线知,。∴。∴。…………………5分(1)若、、三点共线。连结、、。由为切线的中点知,,即。…………………10分∴。∴。又由、、、四点共圆以及知,。∴