第五章5矩阵的相似对角化.ppt

文档介绍：线性代数朱立永北京航空航天大学数学与系统科学学院答疑时间:星期二晚上18:00-20:30星期四晚上18:00-20:30答疑地点:J4-102Email: ******@§ 方阵的特征值和特征向量§ 矩阵的相似对角化§ 实对称矩阵的相似对角化线性代数§ 、B为两个n阶矩阵,若存在n阶可逆阵P使BAPP??1称矩阵A与B相似,记为A∽B。用可逆矩阵P对A作运算P-1AP,(1)反身性: 对任意n阶方阵A,有A∽A;矩阵的相似还具有以下运算性质:(3)传递性: 若A∽B,且B∽C,则A∽C.(2)对称性: 若A∽B,则B∽A;:线性代数(3) 若P-1A1P = B1 , P-1A2P = B2,则P-1A1A2P =,若A∽B,则Ak∽Bk,k为正整数;(4) 若A∽B,f (x)是一个多项式,则f (A)∽f(B).以上运算性质可以用来简化矩阵的计算.(2) 若A∽B,则kA∽kB, k为常数,k∈P成立;(1) 若P-1A1P= B1 ,P-1A2P = B2,则;矩阵的相似具有以下运算性质:11 2 1 2( )P A A P B B?? ??线性代数相似矩阵的下述性质,称为相似不变性。∽B,则有(1)R(A)= R(B),此处R(A),R(B)分别是A、B的秩;(3)A可逆时B也可逆,-1∽B-1.(2)BA?;线性代数由于|A|=|B|,故|A|≠0时|B|≠0,即A可逆时B也可逆,反之亦然. 且证(1)和(2)是显然的,只证(3).即. 证毕。1 1 1 1 1( )B P AP P A P? ????? ?1 1A B? ??,∽B,则有可逆阵P使P-1AP=B,从而PAEPAPPEBE)(11??????????AEAEPPPAEP???????????11这样,. :??????????????????1011,1001BA的,因为A是单位阵,而与单位阵相似的矩阵只能是其本身.??21????????BEAE,但A与B不是相似