文档介绍：几何概率的计算方法————孟臣杰从某中意义上说,几何概率是古典概率的补充和推广,在现代概率的发展中,曾经起过积极的作用。深入考察几何概率问题,对进一步理解概率的基本性质,具有十分重要的意义。本文主要讨论几何概率的计算方法,探索解题思路,总结解题技巧。解答几何概率问题,一般包含相互联系的四个步骤:,就是先弄清所解的问题,是不是几何概率问题。如果问题所及的试验,具有以下两个特征:(1).试验的样本空间包含无穷多个元素,每个样本点由几何空间(一维、二维、三维,甚至n维)中的某一区域G内的点的随机位置来确定;(2)各个样本点的发生是等可能的,也就是区域G内的点的任何位置是等可能的,那么,我们就可以判断它是一个几何概率问题。,它的样本点都可以归结为具有某种等可能的几何元素。为了叙述方便,通常把相应的几何元素叫做等可能值的参数,弄清具有某种等可能性的随机点是什么。也就是要正确理解“等可能”、“随机”、“均匀分布”等词在题中的实际意义,正确揭示他们的本质,以使问题的解答有一个可靠的基础。,我们就可以根据题设条件,借助于适当的几何模型,把事件A所处的样本空间和有利场合,分别与几何空间中的区域G和GA对应起来。从而,利用初等几何或微积分知识,确定G和GA测度,即计算他们的长度、面积或体积等。,就可以直接利用公式推求事件A的概率。几何概率的计算公式和古典概率相仿,结构比较简单,如果用L(G)和L(GA)分别表示区域G和GA的测度,那么事件A的概率是上述四个步骤是一个完整的统一体。容易看出,明确等可能值的参数,是解题的基础,确定区域的测度,是解题的关键。几何概率计算中的种种技能和技巧,大多是围绕确定L(G)和L(GA)而展开的。简单几何概率的解法几何概率的问题,大体上可以分两类,一类是样本空间具有明显的几何意义,样本点所在的区域已直接给出,另一类是样本空间所在的几何区域,题中没有直接指明,需要对问题做深入分析,才能把样本空间归结为几何空间的某个区域。前者结构简单,易于求解;后者结构复杂,解答富有技巧性。本节重点讨论简单几何概率的解法。解答这类问题,通常可以从明确等可能值参数的含义入手,先找出相应的区域G和GA,确定他们的测度,再代入几何概率公式计算求解。在半径为R的圆内画平行弦,如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的,求任意画的弦的长度不小于R的概率。思考方法:由平面几何知识可知,垂直于弦的直径平分这条弦,所以,题中的等可能参数是平行弦的中点,它等可能地分布在于平行弦垂直的直径上(如图1-1)。也就是说,样本空间所对应的区域G是一维空间(即直线)上的线段MN,而有利场合所对应的区域GA,是长度不小于R的平行弦的中点K所在的区间。[解法1].设EF与E1F1是长度等于R的两条弦,直径MN垂直于EF和E1F1,与他们分别相交于K和K1(图1-2)。依题设条件,样本空间所对应的区域是直径MN,有L(G)=MN=2R,注意到弦的长度与弦心距之间的关系比,则有利场合所对对应的区域是KK1,有以几何概率公式得。[解法2].如图1-1所示,设园O的半径为R,EF为诸平行弦中的任意一条,直径MN弦EF,它们的交点为K,则点K就是弦EF的中点。设OK=x,则x[-R,R],所以L(G)=2R设事件A为“任意画的弦的长度不小于R”,则A的有利场合是,解不等式,得所以于是[评注]本题结构比较简单,题中直接给出了等可能值参数;样本空间和有利场合所对应的区域,从图上都可以直接看出。两种解法各有特色,解法1充分利用平面几何知识,在本题似较简便,解法2引进变量x把代数知识和几何知识有机的结合起来,从表面上看解题过程不甚简便,但确具有推广价值,这种方法可以求解复杂的几何概率问题。[例2].平面上画有一组平行线,,任意地往平面上投一半径为2cm的圆,求此圆不与平行线相交的概率。[思考方法]本题的难处,在于题中没有直接指明等可能值参数,为此,需发掘“任意的往平面上投一直径为2cm的圆”之真实含义,找出具有某种等可能的随机点。注意到定半径的圆的位置决定于圆心,可以取圆心作随机点,由于平行线可以向两端无限延伸,而往平面上投圆又是任意的,所以只要取这组平行线的某一条垂线就可以了;,则研究相邻三条平行线之间情况就可以反映问题的全貌。经上面的分析,我们可以取圆心为随机点,它等可能地分布在相邻三条平行线的某一垂线上(如图1-3)由此原题不难解出。[解]设L1、L2、L3是三