文档介绍：几何概率的计算方法
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汝阳县第一高中一一孟臣杰
从某中意义上说，几何概率是古典概率的补充和推广，在现代概率的发展中，曾经起过
积极的作用。深入考察几何概率问题，对进一步理解概率的基本性质，具有十分重要的意义。本文主要讨论几何概率的计算方法，探索解题思路，总结解题技巧。
解答几何概率问题，一般包含相互联系的四个步骤：
判明问题的性质
判明问题的性质是解题的第一步，就是先弄清所解的问题，是不是几何概率问题。如果
问题所及的试验，具有以下两个特征： (1).试验的样本空间包含无穷多个元素，每个样本
点由几何空间(一维、二维、三维，甚至n维)中的某一区域 G的点的随机位置来确定；(2) 各个样本点的发生是等可能的，也就是区域G的点的任何位置是等可能的，那么，我们就可
以判断它是一个几何概率问题。
明确参数的含义
任何一个几何概率问题，它的样本点都可以归结为具有某种等可能的几何元素。为了叙
述方便，通常把相应的几何元素叫做等可能值的参数，弄清具有某种等可能性的随机点是什
么。也就是要正确理解“等可能”、“随机”、“均匀分布”等词在题中的实际意义，正确揭示他们的本质，以使问题的解答有一个可靠的基础。
确定区域的测度
明确了等可能值的参数以后，我们就可以根据题设条件，借助于适当的几何模型，把事件A所处的样本空间和有利场合，分别与几何空间中的区域 G和G对应起来。从而，利用
初等几何或微积分知识，确定 G和G测度，即计算他们的长度、面积或体积等。
明确事件的概率
确定了区域 G和G的测度后，就可以直接利用公式推求事件 A的概率。几何概率的计算公式和古典概率相仿，结构比较简单，如果用 L(G)和L(Ga)分别表示区域 G和G的测度，
那么事件A的概率是
P(A)
L(Ga)
L(G)
上述四个步骤是一个完整的统一体。容易看出，明确等可能值的参数，是解题的基础，确定区域的测度，是解题的关键。几何概率计算中的种种技能和技巧，大多是围绕确定 L(G)和
L(Ga)而展开的。
一、简单几何概率的解法
几何概率的问题，大体上可以分两类，一类是样本空间具有明显的几何意义，样本点所在的区域已直接给出，另一类是样本空间所在的几何区域，题中没有直接指明，需要对问题做深入分析，才能把样本空间归结为几何空间的某个区域。前者结构简单，易于求解；后者
结构复杂，解答富有技巧性。
本节重点讨论简单几何概率的解法。解答这类问题，通常可以从明确等可能值参数的含
义入手，先找出相应的区域 G和G,确定他们的测度，再代入几何概率公式计算求解。
例1. 在半径为R的圆画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置
是等可能的，求任意画的弦的长度不小于 R的概率。
思考方法：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以，题中的等可能参数是
平行弦的中点，它等可能地分布在于平行弦垂直的直径上（如图 1-1 ）。也就是说，样本空
间所对应的区域 G是一维空间（即直线）上的线段 MN而有利场合所对应的区域 G, 是长度不小于R的平行弦的中点 K所在的区间。
图1-1
［解法1］.设EF与EF1是长度等于 R的两条弦，直径 MN垂直于EF和日R,与他们分别相交于K和K1（图1-2）。依题设条件，样本空间所对应的区域是直径 MN有L（G）=MN=2R注意
到弦的长度与弦心距之间的关系比，则有利场合所对对应的区域是 KK,有
L(Gk) KK1 2OK
2
2
R
2
、3R
以几何概率公式得 P
L(Ga)
.3R
0
L(G)
2R
2
［解法2］.如图1-1所示，设园0的半径为R, EF为诸平行弦中的任意一条，直径MN弦EF,
它们的交点为K,则点K就是弦EF的中点。设 OK=x则x ［-R,R］, 所以L（G）=2R 设事件A为“任意画的弦的长度不小于 R”则A的有利场合是 2 ~X^ R,
于是
解不等式，得
所以L(Ga)
P(A)
3R
2R
［评注］本题结构比较简单，题中直接给出了等可能值参数；样本空间和有利场合所对应的区域，从图上都可以直接看出。两种解法各有特色，解法 1充分利用平面几何知识，在本题似较简便，解法2引进变量x把代数知识和几何知识有机的结合起来，从表面上看解题过程
不甚简便，但确具有推广价值，这种方法可以求解复杂的几何概率问题。
［例2］.平面上画有一组平行线，其间隔交替为 ,任意地往平面上投一半径为 2cm的圆，求此圆不与平行线相交的概率。
［思考方法］本题