文档介绍：第四册第一章圆锥曲线1-1 抛物线给予一条直线L和一个定点F(FÏL),在L和F所决定的平面上,一切满足=d(P,L)之动点P的轨迹,叫做抛物线。注:定直线L称为此抛物线的准线。定点F称为此抛物线的焦点。过F与L垂直的直线称为此抛物线的对称轴,简称为轴。轴与抛物线的交点称为此抛物线的顶点。过焦点的弦叫做焦弦,与轴垂直的焦弦叫做正焦弦。正焦弦长=2´d(焦点,准线) =4´d(焦点,顶点)。抛物线的方程式之求法有下列数法:法1:(定义法) 已知焦点、准线→利用定义=d(P,L)解之。法2:(公式法) 利用公式(x–h)2=4c(y–k),(y–k)2=4c(x–h)求之,即求顶点(h,k)及c。注意:当开口向上或向下(即轴^x轴)时Þ用(x–h)2=4c(y-k)。当开口向右或向左(即轴^y轴)时Þ用(y–k)2=4c(x–h)。法3:当已知轴^x轴时Þ设抛物线为y=ax2+bx+c。当已知轴^y轴时Þ设抛物线为x=ay2+by+c。方程式顶点焦点准线正焦弦长注x2=4cy(0,0)(0,c)y=-c4|c|c>0,开口向上;c<0,开口向下y2=4cx(0,0)(c,0)x=-c4|c|c>0,开口向右;c<0,开口向左(x-h)2=4c(y-k)(h,k)(h,k+c)y=k–c4|c|c>0,开口向上;c<0,开口向下(y-k)2=4c(x-h)(h,k)(h+c,k)x=h-c4|c|c>0,开口向右;c<0,,为了不同目的,他走到马路的路线有下列三条: 向南走a公尺到A点之后,继续向南走a公尺到达马路; 向东南走b公尺到B点之后,继续向南走b公尺到达马路; 向东走c公尺到C点之后,继续向南走c公尺到达马路;根据上述资料,下列选项何者为真?(A)c=2a (B)a<b<c (C)b= (D)A,B,C,D四点共圆(E)A,B,C三点刚好在以D点为焦点的抛物线上。 【89推甄】要点:抛物线Û=d(P,L)。解:如图,因为=d(A,L),=d(B,L),=d(C,L),故A,B,C三点在以D点为焦点、L为准线的抛物线上,且c=2a,a<b<c。.范例2设G:,则G的图形是焦点为______,准线为______的抛物线,其正焦弦的长= ______。解:于G:,令P(x,y),F(-1,2),L:x+2y–1=0,得=d(P,L)。故G是以F(-1,2)为焦点,L:x+2y–1=0为准线的抛物线。又d(F,L)= Þ正焦弦长=2´d(F,L)=。.范例3设G是以V(0,1)为顶点,F(-1,3)为焦点的抛物线,则:G的轴为______ G的准线方程式为______ G的方程式为______。解:G的轴包含顶点V(0,1)与焦点F(-1,3),而的方程式为y–1=-2(x–0), 即2x+y–1=0,此即为G的轴。设G的轴与准线相交于点A(a,b), 则V(0,1)为的中点, 所以=0,=1 Þa=1,b=-1, 而过A(1,-1)与轴2x+y–1=0垂直的直线为 x–2y–3=0,此即为准线。设(x,y)为G上任一点,则, 两边平方,经整理后得 G:4x2+4xy+y2+16x–42y+41=0。.范例4设抛物线之焦点为(-1,1),准线平行于y轴,正焦弦长为4,则其方程式为_____。(有二解)解:由题意得4|c|=4,所以c=±1。当c=1时,因准线平行于y轴,所以开口向右, 而焦点是(-1,1),所以顶点为(-2,1), 故所求之方程式为(y–1)2=4(x+2)。当c=-1时,因准线平行于y轴,所以开口向左, 故顶点为(0,1),所以(y–1)2=-4x为所求。.范例5关于抛物线x2–4x–2y+2=0,试回答下列各题:顶点是______ 焦点是______ 正焦弦长为______正焦弦的二个端点是______ 对称轴是______ 准线是______。解:x2–4x–2y+2=0,所以(x–2)2=2(y+1),故顶点是(2,-1)。又4c=2,所以c=,故焦点是(2,-1+),即(2,)。正焦弦长是2。正焦弦的两个端点是(2±1,), 即(3,)与(1,)。对称轴是x-2=0。准线是y=-1,即y=。.范例6一抛物线之轴平行x轴,且过(1,1),(3,2)及(3,-1)三点,求此抛物线之方程式?解:∵轴平行x轴∴设抛物线为x=ay2+by+c,又过(1,1),(3,2),(3,-1)三点,∴Þ∴方程式为x=y2–y+1。.范例7抛物线y2=16x上与直线4x–3y+24=0距离最矩之点的坐标为______。 【85社】解:设P(t2,4t)为抛物线y2=16x上的任意点,其到直线4x–3y+24=0的距离为d