文档介绍：《数学分析原理》.[M].北京:机械工业出版社,2004第五章微分法本章除最后一节外,我们集中注意于定义在闭区间或开区间上的实函数,这并不是为了方便,当我们从实函数转到向量函数的时候,就会看到本质的差别,定义在上的函数的微分法将在第九章予以讨论。[a,b]上的实值函数,对于任意的x∈[a,b],做(差)商(1)然后定义(2)。于是与f相联系得到函数f’,它的定义域是[a,b]中所有使极限(2)存在的x点的集,f’叫做f的导函数。如果f’在x点有定义,就说f在x点可微。如果f’在集E?[a,b]的每一点有定义,就说f在E上可微。可以在(2)中考虑左极限或右极限,从而就可得到左导数和右导数的定义。特别是在端点a,b上,在存在的前提下导数分别是左导数和右导数。但是我们不对单侧导数做详细讨论。如果f定义在(a,b)上,并有a<x<b,这是和前边一样,f’(x)依然是以(1)和(2)来定义的,但此时f’(a)和f’(b)就没有定义了。[a,b]上,若f在[a,b]上任意一点x皆可微,则f在x点连续。证由 , 当时定理的逆命题不成立。在某些孤立点不可微的连续函数式不难构造的。在第7章我们甚至还能得到一个在整条直线上都连续但处处不可微的函数。[a,b]上,且都在点x∈[a,b]可微,那么f+g,fg,f/g也都在x点可微,且:在c中我们自然要假设g(x)≠,(a)显然成立令h=fg,则再两端同除以t-x,再注意当时()。(b)得证。再令h=f/g,那么令,,就可以得到(c)。(x)=x,则f’=1。反复运用(b)和(c)就可以证明xn是可微的,导函数为nxn-1,这里的n是任意整数,且n<0是必须x≠,每个多项式都是可微的,所以任一有理函数除掉那些使分母为零的点后也是可微的。下一条定理通常被称为微分法的“链式法则”,用来求复合函数的导数,它也许是求导数的最重要的定理。在第9章还将看到它的更普遍的表述。[a,b]上连续,f’(x)在[a,b]上的某点x存在,g定义在一个包含f值域的区间I上,又在点f(x)处可微。若则h在x点可微,且有(3)证设y=f(x),由导数定义,知道(4)(5)这里t∈[a,b],s∈I,并且当时,,当时。现在令s=f(t),先用(5),再用(4)就可以得到设t≠x,(6)由于f的连续性,知道当时,,于是(6)右端趋于g’(y)f’(x),这就得到了(3)式。(a)设f定义为(7)先承认的导函数是(我们在第8章里讨论三角函数)。当x≠,得到(8)在x=0点,由于1/x无定义,就不能使用这两个定理了,现在直接按导数定义来计算,对于t≠0当t?0时,这不能趋于任何极限,所以f’(0)不存在。(b)设f定义为(9)同上我们可以求得(10)在x=0,按导数定义计算,得到令t?0,就知道(11)所以f在所有点x可微,但是f'不是连续函数,这是因为(10)式右端第二项cos(1/x),当x?0时不趋于任何极限。中值定理定义设f是定义在度量空间X上的实值函数,称f在点p?X取得局部极大值,如果存在着?>0,当d(p,q)<?且q?X时有f(q)?f(p)。局部极小值可以类似定义。下面的定理是导数的许多应用的基础。[a,b]上;x?[a,b],如果f在x点取得局部极大值而且f'(x)存在,那么f'(x)=0。对于局部极小值的类似的命题,自然也是对的。?,那么若是x-?<t<x,就应该令t?x,便知道f'(x)≥0若是x<t<x+?,就应该这又将表示f'(x)≤0,所以f'(x)=0。[a,b]上的连续函数,它们在(a,b)中可微,那么便有一点x∈(a,b),使得注意:并不要求在区间端点上可微。证:令那么h在[a,b]上连续,在(a,b)内可微,且(12)要证明本定理,就得证明在某点x∈(a,b),h'(x)=0。若果h是常数,那么不论在哪一点x∈(a,b),都有h'(x)=0。如果某个t∈(a,b)使得h(t)>h(a),设x是使h达到最大值的点(),从(12)来看,x∈(a,b),'(x)=0。如果有某个t∈(a,b)使得h(t)<h(a),只要把在[a,b]内的那个x选的使h达到它的最小值,上述论证仍然成立。这个定理常常叫做一般中值定理;下面的特殊情形就是通常所说的种植定理。[a,b]上的实连