文档介绍：1一、一维随机变量的数学期望定义1设X是一离散型随机变量,其分布列为:则随机变量X 的数学期望为:X1x)(1xp2x)(ixpix????)(2xpP??????iiixpxXE??????iiixpxXE????dxxxfXE??????????dxxxfXE????????,xf设X是一连续型随机变量,其分布密度为则随机变量X的数学期望为定义2第三章随机变量的数字特征小结2随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下:假定级数是绝对收敛的.(1)设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi, yj),则????,,???ijjiiyxpxXE????.,???jijijyxpyYE????,??iiXixpxXE????.??jjYjypyYE(2)设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y),则随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下:假定积分绝对收敛.???????????????,,dxdyyxxfXE???????????????.,dxdyyxyfYE??????????,dxxxfXEX??????????.dyyyfYEY二、二维随机变量的数学期望3?????????iiixpxgXEgEY则定义随机变量函数的数学期望为:??XgY?X1x)(1xp2xnx????)(ixXP?)(nxp)(2xp(1)设离散型随机变量X的概率分布为:三、一维随机变量函数的数学期望??????dxxfxgXEgEY???????机变量函数的数学期望为:??XgY?则定义随(2)若X为连续型随机变量,??,xf其概率密度为4(1)设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi, yj),则随机变量函数g(X,Y)的数学期望如下:????????,,,,???ijjijiyxpyxgYXgE假定这个级数是绝对收敛的.(2)设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y),则随机变量g(X,Y)的数学期望如下:???????????????????,,,,、二维随机变量的函数的数学期望5五、关于数学期望的定理定理1??bEXabXaE???aEa???EXaXaE?????bEXbXE?推论(1)(2)(3)?????????????niiniiEXXE??????YEXEYXE???定理3 若X、Y 独立,则有:?????????????niiniiEXXE相互独立,则若nXXX,,,21???????YEXEXYE?6X 的标准差:??2EXXEDX??DXX??定义X 的方差:若X 为离散型随机变量,则有?????????12)(iiixpEXxXD若X 为连续型随机变量,则有???????????dxxfEXxXD)(2????.,2jiijjyxpEYy????????,,2jiijiyxpEXx???????????jjYiypEYy2??XD????iXiixpEXx???2??YD二维随机变量的方差离散型随机变量??,,YX六、方差与标准差7????????????????,,2dxdyyxfEXx????????????????.,2dxdyyxfEYy???????????dyyfEYyDYY2???????????dxxfEXxDXX2连续型随机变量??,,YX22)(EXEXDX??方差的计算公式:;0?Db??;DXbXD??.)(2DXaaXD???DXabaXD2??定理1推论:有关方差的定理:8,pEX?pqDX?,npEX?npqDX?,??EX??DX2pqDX?,1pEX?12)(2abDX??,2baEX??,1??EX21??DX二项分布:0 -1分布:几何分布:均匀分布:指数分布:Poisson分布定理2:??DYDXYXD???若X与Y 独立,推论:???????????????niiniiXDXD11若nXXX,,,21?相互独立,七、某些常用分布的数学期望及方差9对于离散随机变量:??iikikxpxX)()(?对于连续随机变量:??????dxxfxXkk)()(?对于离散随机变量:对于连续随机变量:???iikikxpXExX)()]([)(???dxxfXExXkk)()()(????????????kkXEX??EX?1?随机变量X 的k 阶原点矩:定义1其中k为正整数。特别的,????????kkXEXEX???定义2:X 的k 阶中心矩:;01??DX?2?特别的,八、原点矩与中心矩10)]}.()][({[),cov(YEYXEXEYX???1、X与Y 的协方差(或相关矩):定义?????????????????????.,,covdxdyyxfEYyEX