文档介绍：学士学位论文题目浅析因式分解学生指导教师年级2009级专业数学与应用数学系别数学系学院数学与科学学院哈尔滨师范大学2013年4月因式分解浅析摘要:因式分解是数学中恒等变形的一种重要的方法,它在初等数学乃至高等数学中,都有广泛的应用。本论文首先运用类比和大量的举例对因式分解概念作了说明;其次给出了因式分解的一些方法以及应用过程,然后对因式分解中所涉及到的数学思想作了归纳和总结;最后通过调查分析了解了学生在学习因式分解中常出错的地方,并给出了应对方法。因为本论文主要从理论上阐述了因式分解中的一些重要内容及方法,因此对于一般因式、数域、公因式等的定义都没有另行叙述而直接采用。关键词:因式分解概念方法思想错误分析因式分解概念在算术屮,我们已掌握了鉴数分解质因数的概念,如:15=3x5;在此基础上,由数向式过渡,我们得到因式分解的一般定义:通常把一个多项式分解为儿个不能再分的因式的乘积,称作多项式的因式分解。对于一个多项式能否因式分解,不能孤立的来考虑,在不同的数域内有不同的结论,为了说清楚这个问题,我们必须引进几个概念。所谓多项式在给定的数集内讨论,是指多项式屮的一切系数,以及自变最所取的值,都要属于这个数集。例1分解X,—4的因式在有理数域屮,它的分解式是:+2)(^2—2),分解到这里就不能再继续分解,不然的话,分解式的系数将超出有理数的范围。在实数域屮,它的分解式是:(x2+2)(x+V2)(x-V2),分解到这里,就不能再继续分解。在复数域屮,它的分解式:(x+臥x-际x+冋(x-冋。由此可见,对多项式的分解,必须先明确系数的数域,再理解其不能再分的含义。当然因子和非当然因子。在给定的数集内,任一多项式总能被该数集内的一个非零数整除,而且所除得的商与原多项式只差一个非零数值因子。例2在有理数集内分解4/_1=4(/—丄)=丄(16/一1)=…4 4这种和原多项式只羞一个非零数值因了的多项式叫做原多项式的当然因了,一切其他因子叫做原多项式的非当然因子。如上例屮4, (x2--),(16x2-4),…等是4,一14 4的当然因子,而(2x+l),(2x-l)是它的非当然因子。因此,我们研究多项式的因式分解,只是从它能否表示成非当然因了的积来考虑的。可约多项式和不可约多项式。在某个数域上次数n>\的多项式/7(a),如果他不能表示成这个数域上两个次数比p(x)的次数低的多项式的乘积,我们称多项式p(x)为这个数域上的不可约多项式。按照定义,一个多项式"(X)是否可约,是依赖于它的系数域的。当系数域改变示,它的可约与否就可能改变。如在指定的数集内多项式有非当然因了,那么这个多项式在这个数集内是可约的,否则就叫做不可约。关于因式分解屮不能再分问题,有几个重要命题。(1)在复数域。推论1多项式p(x)=anx"+alt_]x"^+--+a]x+a()(al)H0)总可以在复数域屮分解成斤个一次式的积。推论2在复数域上,只有一次式是不可约的,任何大于1的多项式都是可约多项式。定理1如果实系数n(n>1)次多项式f(x)=anxn+an_}xn~]+-••+a}x+aQ(anH0)有一个虚数根a=a+bi(其屮a,b为实数,bHO),那么a=a-bi也是/'(x)的根。例3在复数域上分解下列备式:xA+1=(%2+1)2-2x2=(x2+V2x+l)(x2—V2x+1)=(x— --r)(x-+222密)(“¥+密)(“¥¥,)22222Xn-\=(X-£())(x-Ok" k7T其中6=cos +/sin-—,(k=0,1,…,n-l)n n在实数域。定理2在实数域屮只存在一次和二次不可约多项式;任何次数几>3的多项式总是可约的。在实数集内,一个二次三项式+ 是不可约的充要条件是:A=/?2-4ac<0。例4在实数域上分解下列各式:x3-6a2+15a—14=(x3-8)-(6,-15x+6)=(x-2)(,—4x+7)(・•・/_4兀+7的△v0, x2-4x+7在实数域上不能再分)x6+21=(x2+3)(x4一3x2+9)=(x2+3)[(x2+3)-9x2]=(/+3)(x24-3x4-3)(x2-3%+3)(因为在实数域上最多有二次不可约多项式,像上面的兀4—3兀2+9—定可以再分,这一点往往会被忽略)在有理数域。除一次式不可约外,次数高于一次的多项式,祁可能会是不可约的。有理系数多项式可以归结为整系数多项式来讨论。设f(x)=anxn +…+绚兀+。°是有理系数多项式,选取适当的整数c乘以/(X),总可以使”⑴是整系数多项式,如果0'⑴的各项系数有公因式d,可以提出来,即cfM=dg(x),/(x)=-^(x),其屮g(x)是各项系数互质的鉴系数多项式。C2?2例5/(x)=-x4+2x2——=—(5x4+15x2-6),这里g