文档介绍：第七章微分方程教学目的:、阶、通解,初始条件和特等概念。。、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换解某些微分方程。会用降阶法解下列微分方程:,和理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。,会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。(或方程组)解决一些简单的应用问题。教学重点:可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法可降阶的高阶微分方程,和二阶常系数齐次线性微分方程;自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程;教学难点:齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程;线性微分方程解的性质及解的结构定理;3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。§,,,往往不能直接找出所需要的函数关系,可是根据问题所提供的情况,,对它进行研究,找出未知函数来,(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,=y(x).根据导数的几何意义,可知未知函数y=y(x)应满足关系式(称为微分方程).(1)另外,未知函数y=y(x)还应满足下列条件:x=1时,y=2,简记为y|x=1=2.(2)把(1)式两端积分,得(称为微分方程的通解),即y=x2+C,(3)“x=1时,y=2”代入(3)式,得2=12+C,由此定出C==1代入(3)式,得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x=1=2的解):y=x2+(相当于72km/h)的速度行驶;当制动时列车获得加速度-,以及列车在这段时间里行驶了多少路程?,反映制动阶段列车运动规律的函数s=s(t)应满足关系式.(4)另外,未知函数s=s(t)还应满足下列条件:t=0时,s=0,.简记为s|t=0=0,s¢|t=0=20.(5)把(4)式两端积分一次,得;(6)再积分一次,得s=-+C1t+C2,(7)这里C1,|t=0=20代入(6)得20=C1;把条件s|t=0=0代入(7)得0=,C2的值代入(6)及(7)式得v=-+20,(8)s=-+20t.(9)在(8)式中令v=0,得到列车从开始制动到完全停住所需的时间(s).再把t=50代入(9),得到列车在制动阶段行驶的路程s=-´502+20´50=500(m).几个概念:微分方程:表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,:未知函数是一元函数的微分方程,:未知函数是多元函数的微分方程,:微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,¢¢¢+x2y¢¢-4xy¢=3x2,y(4)-4y¢¢¢+10y¢¢-12y¢+5y=sin2x,y(n)+1=0,一般n阶微分方程:F(x,y,y¢,×××,y(n))=(n)=f(x,y,y¢,×××,y(n-1)).微分方程的解:满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式),设函数y=j(x)在区间I上有n阶连续导数,如果在区间I上,F[x,j(x),j¢(x),×××,j(n)(x)]=0,那么函数y=j(x)就叫做微分方程F(x,y,y¢,×××,y(n))=:如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,:用于确定通解中任意常数的条件,=x0时,y=y0,y¢=y¢,.特解:确定了通解中的任意常数以后,:¢=f(x,y)满足初始条件的解的问题,:微分方程的