文档介绍：生命的代价——无理数的发现我们已经知道,实数中除了整数、分数这些有理数外,还有无理数。如果有人说:“世界上只有整数和分数,除此之外,就再没有别的什么数了。”你肯定会说这是谬论。如果还没有知道世界上有无理数,并且这一说法出自一位具有威望的数学家之口,你敢怀疑吗?毕达哥拉斯学派是古希腊的一个重要学派,为首的就是毕达哥拉斯。毕达哥拉斯学派主要研究“四艺”:几何学、算术、天文学和音乐。毕达哥拉斯本人非常重视数学,企图用数学来解释一切。毕达哥拉斯学派有一个基本观点,叫做“万物皆数”。毕达哥拉斯认为,世界上只存在着整数和分数,除这些数以外,不会有别的数了,尽管毕达哥拉斯并没有对此作过严格证明,但是出于毕达哥拉斯的威望,学派中的绝大多数人都把它视为真理。他们认为,正整数就是组成物质的基本粒子——原子。因此,一切量都可以用整数或整数的比来表示。他们觉得,一条线段就好比一串珍珠,这珍珠就是一个一个的点,不过又小又多罢了。按这种看法,两条线段长度之比,就应当是它们各自包含的小“珍珠”的个数之比,当然应当是可以用整数之比来表示的了。可是不久就出现了一个问题:若一个正方形的边长为1,对角线的长为l,按照他们发现的毕达哥拉斯定理(我国称为勾股定理)有l2=12+12=2,那么l到底等于多少呢?是整数还是分数呢?显然l不是整数,因为12=1,22=4,而l2=2,所以l一定比1大,比2小。按照毕达哥拉斯对数的认识,l就一定是个分数了。可是,毕达哥拉斯和他的门徒们费了九牛二虎之力,也找不到这个分数。这个事情令毕达哥拉斯学派的学者感到十分苦恼。在历史上,这件事被称为第一次数学危机。据说,毕达哥拉斯学派的一个青年人,名叫希勃索斯,他对正方形的对角线问题很感兴趣,花费了很大精力去钻研这个问题。他先研究了正五边形,发现正五边形的对角线长l和边长a之比是不能用分数来表示的。接着,他又研究了正方形,第一个发现了正方形的边和对角线长度之比不能用整数之比来表示。他发现边长为1的正方形,它的对角线长为。既不是整数,也不是分数,而是当时还没有认识的一种新数。用现在的话说,就是不是有理数。这本是数学史上伟大的发现之一,可是毕达哥拉斯学派并不欢欣鼓舞,相反感到惊讶和困扰,因为这个发现直接和毕达哥拉斯学派的错误信条“万物皆数”相抵触,动摇了毕达哥拉斯学派的基础——“任何两个同类量可通约”,使这个学派的许多人大为惶恐和恼怒,一方面恼火地命名这种数为“无理数”,另一方面下令严密封锁希勃索斯的发现,如果谁敢泄露出去,就处以学派的极刑。尽管毕达哥拉斯学派内部纪律森严,希勃索斯的发现还是被许多人知道了。他们追查泄密的人,追查的结果,发现泄密的正是希勃索斯本人。这还了得,要活埋希勃索斯。在朋友的帮助下,希勃索斯逃走了。他在国外飘泊了许多年,后来想偷偷返回故里。回乡的途中,在地中海的一艘船上被抓住了,当场被抛到海里淹死了。为了坚持真理,希勃索斯付出了生命的代价。可是,真理是不可能永远被淹没的,随着数学的向前发展,无理数终于在人们心目中取得了合法的地位,被广泛使用于科学研究、技术应用和人们的社会生活之中。最初,人们认识的无理数,都是像那样由开方产生的(后来被称为初等无理数)。但是,仅用有理数开方定义无理数是不对的,比如(1+)就不能通过对某有理数开方得到。怎么解决这个问题呢?数学家们很容易想到了,用有理数的加减乘除、乘方