文档介绍：§ 微积分学基本定理定积分计算(续)一变限的定积分与原函数的存在性.)()(???babadttfdxxf且存在则有定积分上可积在若?badxxfbaf)(,],[因而有上可积在,],[xaf存在],[bax???xadttf)(定义],[,)()(],[)(baxdttfx,baxfxa????则上可积在设称为变上为自变量的函数定义了一个以积分上限,,.],[,)()(称为变下限的定积分类似地baxdttfx,bx????.? ?],[],[ba,baf??证明:[ , ] [ , ],a b x x x a b???对上任一确定的点只要按变上限积分的定义有.)()()(???????????xaxxxxxadttfdttfdttf?].,[,)(,],[batMtfbaf??可设上有界在因时有当于是0,??x;)()(xMdttfdttfxxxxxx????????????,???????????xxMx由此得到时则有当.],[,.上处处连续在的任意性由连续在点即证得bafxx?],[],[ba,baf?且处处可导,].,[),()()(baxxfdttfdxdxxa??????证明:[ , ] 0 [ , ]a b x x x x a b? ? ???对上任一确定的当且时[ , ] , [ , ] .x a b f a b?由在上的任意性故是在上的一个原函数( ) ( ) ( ) ( )x x xa ax x x f t dt f t dt? ? ???? ??????? ?( ) .x xxf t dt????由变上限积分的定义1( ) ( ), 0 xxf t dt f x xx x?? ????? ?????? ??由积分第一中值定理0 0lim lim ( ) ( ).x xf x x f xx???? ???? ????,f x由于在点连续故有( ) ( ) ( ).x x x f x? ???所以在可导且如果)(tf连续,)(xa、)(xb可导,则dttfxFxbxa??)()()()(的导数)(xF?为????)()()()(xaxafxbxbf????证??dttfxFxaxb)()(0)()(0????dttfxb??)(0)(,)()(0dttfxa??????)()()()()(xaxafxbxbfxF????????)()()()(xbxadttfdxdxF(1) 该定理解决了原函数的存在性问题(2) 该定理为寻找定积分的计算方法提供了理论依据精僻地得出: 上的连续函数一定存在原函数,且],[ba是的一个原函数这一基本结论.)(x?)(xf几点说明:)(xf)(xf)(xFcdttfxFxa???)()(因为的任意两个原函数只能相差一个为连续函数时,它的任一原必满足常数,所以当函数(3) 该定理沟通了导数与定积分之间的内在联系为微分学和积分学架起了桥梁,?)(aFc?若在此式中令,得到,从而有)()()(aFxFdttfxa???bx?)()()(aFbFdttfba???再令,即得??2210limxxtxe dt????????2221020lnlim ln limxtxxtx xe dte dtx??? ??????例1 22 2 20 02lim lim2 2 2x xx xx xt t xe xex e dt e dt xe???