文档介绍：运筹学II Operations Research II华中科技大学管理学院管理科学与信息管理系授课教师傅小华Telephone:**********E-mail:fuxhua@ 约束极值条件下的基本方法2016-12- 非线性规划的数学模型例(资金使用方案)?设有400万元资金,要求4年内使用完,若在一年内使用资金x万元,则可获得效益万元(效益不能再使用),当年不用的资金可存入银行,年利率为1%。试制定出这笔资金的使用方案,以使4年的经济效益总和为最大。分析:设xj(j=1,2,3,4)表示第j年使用的资金数;z表示4年效益的总和。?目标函数?由于每年使用的资金既不能为负值,又不能超过当年的资金拥有量,于是需要满足以下约束:x(1) 非线性规划问题举例4321xxxxzMax????2016-12-194?第一年:?第二年:?第三年:?第四年:?所以,资金使用问题的数学模型为:400x01????12x-???????213xx-???????????3214xxx-??????????????????????????????????4,3,2,-12-195?非线性规划问题可以有约束也可以没有约束(没有约束时目标函数必须是非线性的)。尽管如此,它的一般形式仍然被描述成一个约束优化问题。?非线性规划问题的一般形式为:目标函数或约束条件中至少有一个非线性函数,这类问题称之为非线性规划问题,简记为(NP)??????????等式约束不等式约束目标函数?????????q21j0xhp21i0xgtsxfMinji,,,,,,.??(2) 非线性规划模型2016-12-196对于一个实际问题,在把它归结成非线性规划问题时,一般要注意如下几点:(1)确定备选方案:首先要收集同问题有关的资料和数据,在全面熟悉问题的基础上,确认什么是问题的可供选择的方案,并用一组变量来表示它们。(2)提出追求目标:经过资料分析,根据实际需要和可能,提出要追求极小化或极大化的目标。并且,运用各种科学和技术原理,把它表示成数学关系式。(3)给出价值标准:在提出要追求的目标之后,要确立所考虑目标的“好”或“坏”的价值标准,并用某种数量形式来描述它。(4)寻求限制条件:由于所追求的目标一般都要在一定的条件下取得极小化或极大化效果,因此还需要寻找出问题的所有限制条件,这些条件通常用变量之间的一些不等式或等式来表示。2016-12-,其最优解只能在其可行域的边界上达到(特别是可行域的顶点上达到);而非线性规划的最优解(如果最优解存在)则可能在其可行域的任意一点达到。,其必然为全局或整体最优解;而非线性规划的最优解则可能为整体最优解也可能为局部最优解。(由于线性规划的目标函数为线性函数,可行域为凸集,因而求出的最优解就是整个可行域上的全局最优解。非线性规划却不然,有时求出的某个解虽是一部分可行域上的极值点,但并不一定是整个可行域上的全局最优解。)(3)非线性规划问题的最优解线性规划与非线性规划最优解的区别2016-12-198?记(NP)的可行域为,?若,并且?则称是(NP)的整体最优解,是(NP)的整体最优值。如果有?则称是(NP)的严格整体最优解,是(NP)的严格整体最优值。?若,并且存在的邻域,使??则称是(NP)的局部最优解,是(NP)的局部最优值。整体最优解与局部最优解Kxxfxf???),()(*KKx?***,),()(xxKxxfxf????*xKx?*)(*xN?KxNxxfxf?)(),()(**????*x)(*xf*x)(*xf*x)(*xf2016-12-199?如果有?则称是(NP)的严格局部最优解,是(NP)的严格局部最优值。KxNxxfxf?)(),()(**????*x)(*xfff((xx))局部最优解局部最优解整体最优解整体最优解2016-12-1910定义: 设集合S ?Rn为凸集,函数f :S?R若?x(1), x(2)?S, ??( 0 , 1 ) ,均有f(? x(1)+(1- ?) x(2)) ≤?f(x(1))+(1- ?)f(x(2)) ,则称f(x) 为凸集S 上的凸函数。若进一步有上面不等式以严格不等式成立,则称f(x) 为凸集S 上的严格凸函数。?当- f(x) 为凸函数