关于Sierpinski垫片的Hausdorff测度的上限估值.pdf

文档介绍：第卷第期淮北煤炭师范学院学报自然科学版. 。
年月.
关于垫片的测度的上限估值
许绍元,张爱萍
淮煤炭师范学院数学科学学院,安徽淮北
摘要:该文利用自相似集的部分估计原理,得到了垫片的测度的上限估值为.,这是
迄今为止利用手工计算的最好结果。
关键词:测度与维数;垫片;上限估值
中图分类号:. 文献标识码: 文章编号:———
引言与预备知识
分形集的测度是非线性科学的一个理论课题,至今结果不多,特别是维数大于
的分形,即使是具有严格自相似性的经典自相似集,例如曲线心和垫片口等也是如此.
最近,文给出了垫片的测度的较好上限估值。本文同样研究垫片,首先
通过】中著名的关于自相似集的部分估计原理,得到了一个计算垫片的测度上方估
值的一般方法,再在文】的基础上,通过作圆弧将多边形进一步凸化,同样利用部分估计原理,用手工计算
得到了垫片的测度的更好上限估值.
如图,在欧氏平面上取单位实闭等边三角形,连接的三边的中点,并挖去中间边长为告的
内部,得到的集合记为;对的个边长为告的等边三角形重复上述过程,得到个边长为的等边三
角形组成的集合,记为:.将上述过程无限进行下去,依次得到,,,,⋯.由边长为的个三
角形组成,,生成

一个与几何相似的集合相似比,称之为垫片的一个一级拷贝,并记为一,的—
⋯,有

.
主要结果
引理.【】部分估计原理设为。中任一一可贝集,则
≤.
其中Ⅳ.
,,我们立即有

,
收稿日期:——
基金项目:安徽省高等学校自然科学研究计划项目
作者简介:许绍元一,男,湖北武汉人,教授,博士,主要从事分形几何与非线性泛函分析的研究
淮北煤炭师范学院学报自然科学版丘
并,则
≤.
,
面上选取恰当的集合只要包含了一些比更小的一,
我们选取为由圆弧和线段组成的集合,并考察的一级拷贝形式,从而得到了的一个更好上
,我们作出垫片的一级拷贝图形如图所示.
图圆覆盂
定理。设,则
:盟.
。
证明在图中,在等边三角形上取点,,,,,使得
: ,: : ,: : ,: ,
分别以,,,,,为圆心,以
: :.
为半径作六个圆弧使之两两相交于点Ⅳ,Ⅳ, .又记的一个一级压缩为图中的三角形,并记
圆弧与三角形的交点为,,
.
首先,,ⅣⅣ.在等边三角形
中,如图所示,寻找的直径.
在图中建立直角坐标系,分别作Ⅳ上,
: 一:..
圆所在的方程为
。。.
由此可得』、,点的纵坐标
.
即
肘,.
所以
第期许绍元等:关于垫片的测度的上限估值
—删, 一. 。。
在直角三角形中,易求得
Ⅳ· 。。.
因此
—。..
由初等几何,易证明上