文档介绍：第三章自激振动§§§§§自激振动与周期激励的响应相比,仍然是一种周期振动,它也是靠外界能源的驱动形成的,不同的是现在的能源是一个能量不变的能源,能源本身不直接给系统提供周期性变化的能量,系统振动能量的周期性变化是靠系统固有的某种自动调节机制、周期性地向能源和环境吞吐能量形成的。当然,振动系统周期性地向能源吸收能量而能源的能量保持不变,这只能在能源的能量大大超过振动能量的前提下才能近似实现,这是自激振动系统的另一个特征。自激振动系统(self-excitedsystem)也称为自振系统,它的特性很复杂。本章只学习单自由度系统自激振动的形成和演变的一些基本规律。§、。就电铃而言,能源为直流电源,在一定时期内,能量近似恒定,接通电源后,铃锤在电磁吸力作用下,弯曲敲击铜铃,同时电路触点断开,电磁吸力消失;在这个过程中,,一部分转化为铃锤的动能和弹性势能,另一部分由于材料阻尼、敲击等因素而耗散。接下来的过程是,弹性势能使铃锤恢复形状,使电源再次接通,完成一次振动,并开始下一次振动。可见,自激振动的形成过程和机理是:振系在某些初始激励下能作往复运动,同时振系内有一个固有的自动调节环节起作用,它能自动感知振系状态,根据振系状态自动调节能量的吸收,并能使振系在每个往复运动中吸收的能量逐渐等于耗散的能量,从而使振系的能量和状态周期性变化,即形成自激振动。自激振动的形成机理,可用框图表示,。需要指出的是,图中的调节器就是前述的自动调节环节,对于某些振系,调节器是一个实际存在的装置,如电铃,其调节器为电磁断续器,而对很多振系,调节器并不是一个明确的装置,而是系统自身的特性和参数综合形成的一个自动控制环节。参见课本p57的总结。§从以上定性分析已知,自激振动是周期振动,因此对单自由度系统,自激振动的相轨迹是一条封闭曲线,与保守系统的自由振动相轨迹不同的是,自激振动的封闭相轨迹的形状和运动周期,是由系统的固有参数和特性决定的,而与初始条件无关。因此,自激振动的封闭相轨迹在相平面上是一条孤立的封闭曲线。在这条封闭曲线邻近的相点,将沿某一螺旋状相轨迹趋近或离开这条封闭曲线,因此称它为极限环(limitcycle)。一个振系的极限环可能不止一个,当极限环邻近的相轨迹都趋近于极限环时,该极限环是稳定的,否则,是不稳定的,。只有稳定的极限环才对应于能够实现的自激振动,因此寻求极限环并确定其稳定性,是非线性自治系统研究中的一个最重要的问题。vanderPol振荡器是已知存在极限环的系统的一个经典例子。vanderPol方程也可以由Rayleigh方程经变换得到,()这就是vanderPol方程。对()作能量积分得()()式对t求导,得E为积分常数。当x的幅值较小时,上式右端第二项圆括号中的值大于零,积分值随时间增长而增大,系统的机械能增大,即系统向外界吸收能量,同时使系统的运动幅度增大,这一过程一直到积分的平均值为零才停止。当x的幅值较大,上式右端第二项圆括号中的值小于零时,系统将耗散能量,同时使系统的运动幅度减小。因此预计系统最后可能会稳定在某个周期运动状态,即自振状态。方程()的第二项与速度有关,相当于一个阻尼项,由上述分析知,它不是常规阻尼,而是一个交变阻尼,耗散能量时,称为正阻尼,吸收能量时称为负阻尼。下面用相平面法来确定其极限环。不失一般性,设Rayleigh方程()中,d=1,相轨迹微分方程为显然,原点是系统唯一的奇点。用Lienard方法作相轨迹,Lienard辅助曲线为()它也恰好是通过原点的零斜率等倾线,。稍加考察可知,奇点附近的相轨迹是向外发散的,因此奇点为不稳定焦点。。也可用谐波平衡法来求出vanderPol方程的近似解,注意,以上近似解只有当e为小参数时才成立,。对于e为大参数的情况将在§。