文档介绍：二次函数一、内容提要(一)二次函数的解析式: :y=ax2+bx+c;其中a≠0,a,b,c为常数 :y=a(x-h)2+k;其中a≠0,a,h,k为常数,(h,k)为顶点坐标。 :y=a(x-x1)(x-x2);其中a≠0,a,x1,x2为常数,x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标。注:这种形式可以作为了解内容,重点是前两种。(二)二次函数的图象:抛物线(三)性质: ,顶点坐标: :a>0,抛物线开口向上,并向上无限延伸。 a<0,抛物线开口向下,并向下无限延伸。 :(Ⅰ)a>0时, 当x时,y随x增大而减小当x>时,y随x增大而增大(Ⅱ)a<0时, 当x时,y随x增大而增大当x>时,y随x增大而减小 :(Ⅰ)a>0时,当x=时, (Ⅱ)a<0时,当x=时, :(0,C) 特别地当C=0时,抛物线过原点,反之也成立。 : (Ⅰ)Δ=b2-4ac<0,抛物线与x轴无交点。(Ⅱ)Δ=b2-4ac=0,抛物线与x轴只有一个交点,交点坐标为(,0) (Ⅲ)Δ=b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点,交点坐标为(,0) 二、典型例题: +3x+6是二次函数,求m的值,并判断此抛物线开口方向,写出顶点坐标及对称轴。解:由题意得解得m=-1 ∴y=-3x2+3x+6=, 开口向下,顶点坐标(),对称轴x=。说明:在y=a(x-h)2+k中,(h,k)是抛物线的顶点坐标,所以一般求抛物线的顶点坐标时,常常利用配方法把解析式转化为上述表达形式,直接写出顶点坐标,对称轴方程,也可以用顶点坐标公式()求得,解题时可根据系数的情况选择适当的方法。=ax2+bx+c如图所示,直线x=-1是其对称轴,(1)确定a,b,c,Δ=b2-4ac的符号,(2)求证:a-b+c>0,(3)当x取何值时,y>0,当x取何值时y<0。解:(1)由抛物线的开口向下,得a<0,由抛物线与y轴的交点在x轴上方,得c>0, 又由<0,∴>0, ∴a、b同号,由a<0得b<0. 由抛物线与x轴有两个不同的交点, ∴Δ=b2-4ac>0 (2)由抛物线的顶点在x轴上方,对称轴为x=-1. ∴当x=-1时,y=a-b+c>0 (3)由图象可知:当-3<x<1时y>0, ∴当x<-3或x>1时,y<0 =(m-2)x2+2mx+m+1,其中m为常数,且满足-1<m<2,试判断此抛物线的开口方向,与x轴有无交点,与y轴的交点在x轴上方还是在x轴下方。解:∵-1<m<2. ∴m-2<0,抛物线开口向下, 又m+1>0,抛物线与y轴的交点在x轴上方。Δ=4m2-4(m-2)(m+1) =4m2-4(m2-m-2) =4m+8 =4(m+1)+4>0. ∴抛物线与x轴有两个不同的交点。说明:上两道例题是以形判数、由数思形的典型。对于二次函数y=(a≠0)除了解a的含义以外,还应理解常数c为抛物线与y轴交点的纵坐标,即由c定点(0,c),c的正、负符号决定(或决定于)抛物线与y轴的交点在x轴上、下方,c的绝对值决定(或决定于)图象与y轴交点到x轴的距离。由y=0,得一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).它有无实根由判别式Δ=b2-4ac来决