文档介绍：第一章第一章基本概念基本概念集合映射数学归纳法整数的一些整除性质数环和数域课外学习 1 : 山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村---- 评析数学进程中的三次危机在数学的领域中,提出问题的艺术比解答问题的艺术在数学的领域中,提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。更为重要。――――康托尔( 康托尔( Cantor, Cantor, 集合论的奠基人, 集合论的奠基人, 1845 1845 - -1918 1918 ) ) 算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。-- --高斯( 高斯( Gauss,1777-1855 Gauss,1777-1855 ) ) 数可以说成是统治整个量的世界,而算术的四则可以数可以说成是统治整个量的世界,而算术的四则可以被认为是作为数学家的完全的装备。被认为是作为数学家的完全的装备。-- --麦斯韦麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879) (James Clark Maxwell 1831-1879) 集合的描述性定义集合的表示方法集合的包含和相等集合的运算及其性质教学目的掌握集合概念、运算、证明集合相等的一般方法重点、难点集合概念、证明集合相等集合的描述性定义集合的描述性定义表示一定事物的集体,我们把它们称为集合或集,如“一队”、“一班”、“一筐”. A,B,C,…表示集合,用小写拉丁字母 a,b,c,…表示元素. 如果 a是集合 A的元素,就说 a属于 A,记作;或者说 A包含 a,记作 A?a如果 a不是集合 A的元素,就说 a不属于 A,记作; 或者说 A不包含 a,记作 Aa? a A ?例如,设 A是一切偶数所成的集合,那么 4∈A, 而. 3A?一个集合可能只含有有限多个元素,这样的集合叫做有限集合. 如,前十个正整数的集合;一个学校的全体学生的集合;一本书里面的所有汉字的集合等等这些都是有限集合. 如果一个集合是由无限多个元素组成的,就叫做无限集合. 如,全体自然数的集合;全体实数的集合;小于的全体有理数的集合等等都是无限集合. 不含任何元素的集合叫空集. 表示为: ? 集合的表示方法集合的表示方法枚举法:例如,我们把一个含有 n个元素的集合的有限集合表示成: . 前五个正整数的集合就可以记作. naaa,,, 21??? naaa,,, 21??? 5,4,3,2,1枚举仅用来表示有限集合. 拟枚举: 自然数的集合可以记作, 拟枚举可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自然数、整数…??..... .... 5,4,3,2,1n 概括原则: 如果一个集 A 是由一切具有某一性质的元素所组成的,那么就用记号??具有某一性质 x| {x A来表示. 例如表示一切大于-1 且小于 1 的实数的所组成的集合. }11,|{?????xRxxA常用的数集: 全体整数的集合,表示为 Z 全体有理数的集合,表示为 Q 全体实数的集合,表示为 R 全体复数的集合,表示为 C 集合的包含和相等集合的包含和相等设A,B是两个集合,如果 A的每一元素都是 B的元素,那么就说 A是B的子集,记作(读作 A属于 B),或记作(读作 B包含 A). 根据这个定义, A是B 的的子集必要且只要对于每一个元素 x,如果,就有. BA? AB?Ax? Bx?例如,一切整数的集合是一切有理数的集合的子集,而后者又是一切实数的集合的子集. A是B的子集,记作: ):()(BxAxxBA?????对于一切如果 A 不是 B 的子集,就记作: 或. 因此, A 不是 B的子集,必要且只要 A中至少有一个元素不属于 B, 即: A B ? A B ù ( ) ( : ) A B x x A x B ? ??存在一个元素但?例如,一节可以用被有整除的整数所成的集合,不是一切偶数所成的集合的子集,因为 3属于前者但不属于后者. 集合{1,2,3}不是{2,3,4,5}的子集. 根据定义, 一个集合 A总是它自己的子集,即: AA?如果集合 A与B的由完全相同之处的元素组成部分的,就说A与B相等,记作: A=B . 我们有):()(BxAxxBA?????对于一切例如,设 A={1 ,2},B是二次方程的根的集合,则 A=B . 023 2???xx)()(CAcBBA????且)()(BAABBA??