文档介绍：:(1)构造是:主对角线元全为;主对角线上方第一条次对角线元全为,下方第一条次对角线元全为1,其余元全为0;即为三对角线型。又右下角(n)表示行列式为n阶。解把类似于,但为k阶三对角线型行列式记为。把(1)行列式按第一列展开,有两项,一项是另一项是上面行列式再按第一行展开,得乘一个n–2阶行列式,这个n–2阶行列式与原行列式构造相同,于是有递推关系:(2)移项,提取公因子β:类似地:(递推计算)直接计算若;否则,除以后移项:再一次用递推计算:∴,当β≠α(3)当β=α,从从而。由(3)式,若。注递推式(2),三对角线型n阶行列式(3)与三对角线型行列式(4)有相同递推关系式(5)(6)注意两个序列与起始值相同,递推关系式(5)与(6)构造也相同,故必有由(4)式,每一行都能提出一个因子a,故等于乘一个n阶行列式,这一个行列式就是例1。前面算出,故例2计算n阶范德蒙行列式行列式解::计算行列式解①×(x+a)②×(x–a):这个行列式特点是除对角线外,,:猜测:证明(1)n=1,2,3时,命题成立。假设n≤k–1时命题成立,考察n=k情形:故命题对一切自然数n成立。:(1)构造是:主对角线元全为2,主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线元全为1,其余元全为0。解用消去法,把中主对角线下方第一条次对角线元1全部消成0:首先从第二行减去第一行倍,于是第二行变为其次从第三行减去第二行(指新第二行,以下同)倍,则第三行变为再从第四行减去第三行倍,则第四行变为类似地做下去,直到第n行减去第n–1行倍,则第n行变为最后所得行列式为(2)上面行列式是三角型行列式,它主对角线元顺次为93)又主对角线下方元全为0。故值等于(3)中各数连乘积,即。注3一般三对角线型行列式(4)也可以按上述消去法把次对角线元全部消去,得到一个三角型行列式,它值等于该三角型行列式主对角线元连乘积。6乘以已知行列式例7求行列式值:称为循环行列式,各行自左到右均由循环排列而得,并使主对角线元全为解设1立方根为,即其中i是虚数单位,又右乘以行列式则(1)用,得故(1)行列式第一列可由提出公因子,提后元顺次为,类似地,(1)行列式第二列与第三列可提出公因子与于是因互不相等,帮它们所构成凡德蒙行列式值不为零,可以从上式左右两边约去,得注4在n阶一般情形,设1n次方根为则得行列式值为这里是由构成n阶循环行列式:7利用线性代数方程组解例8求n阶行列式值:(1)构造是:第i行元顺次为又第n行元顺次为。解(1)行列式与凡德蒙行列式(2)比值可以看成线性代数方程组(3)解。如能解出,乘以凡德蒙行列式(2),即是原行列式但方程组(3)又可以看成n次多项式方程(4)(t是未知数,看作系数)有n个根用根与系数关系,即得8递推方程组方法例9求行列式值:(1)是n阶行列式(在右下角用(n)表示),其结构是:主对角线元全为x;主对角线上方元全为y,下方元全为z。解从(1)行列式第一列减第二列,第二列减第