文档介绍：《数理天地》高中版“希望杯”与其它数学竞赛年第期
钧暄新数到
田竞赛中的遴推数列问题
戴志祥浙江省绍兴市高级中学
递推数列问题是数学竞赛中的热点问题,具所以数列一口是首项为一一
有题型灵活多变,, 一寺,公比为一专的等比数列,
解递推数列竞赛题同学们普遍感到比较困难,递
推数列竞赛题应该如何求解通过分析近几年的
高中竞赛中的递推数列试题发现,化归即构造新故。什一一一丢一一丢,③
数列是解这类问题的一种有效的策略.
例数列定义如下:口—,—, ①一③×,得詈一一丢”.
例已知数列口中,—,计一
一—计一一,,⋯.·若右
.
一,贝口一——
第届世界数学团体锦标赛样题
瞿,则正整数的最小值为——. 解因为口计一,
年上海市新知杯数学竞赛所以: 口一一≥,
解一,—, 两式相减,得
一口一一一≥,
‰: 一; ,,⋯
所以口井一日一—以一日一≥,
可化为口—口计—. 故数列计一口一是首项为,公比为的
设一,则井—计一, 等比数列,
即数列是等差数列, 即一一—× ,
公差—一一口, 与递推式口抖一~ 联立,
所以: 一一,—解得口:计.
一一,
例已知数列满足一—,口
:: : 一一
——————.‘一一一二±二二地≥
, 求的通项公式.
由, 年高中联赛
解数列口满足一一,
得, , 口一一——±—●一≥, ①
所以正整数的最小值为.
一一± 地≥
例已知数列口满足一—————一, ②
一,口口,
②一①,得一一≥,
求. 第届世界数学团体锦标赛试题
解因为口一,所以詈, 即卅一丢:一≥,
又井口计, ①
所以当≥时,口一. ②所以数列一从第项起成公比为丢
①一②×,得计—一一—, 的等比数列,
即口井—一一÷ 口一口, 因为。一一号,
· ·
年第期“希望杯”与其它数学竞赛《数理天地》高中版
令一..叶
所以一,
一
一。。一。
则一一一
一一,
”~ 一一—, : : ,‘一,‘‘一,
即数列一是首项为,公差为的等差
所以厂单调递增,
数列,
一厂一十一
,
所以一,即一·
于是,即·
例已知数列满足
故整数的最大值为.
一
丢,一∈. 例设数列的前项和满足
求数列口的通项公式
一川一,,⋯,
若数列满足一∈,对
则通项一. 年全国数学联赛
解当一时, ,
任意正整数咒≥,不等式骞而所以:;
恒成立,求整数的最大值· 当≥时,
一一,
年全国高中联赛陕西预赛
一一
解若存在口一∈, 二一一一一’
由—,知一.
所以一一,
依次类推口一,—,:, 十一/
⋯,口一,与口一妻矛盾. 一一一,
所以≠∈,
由一口科,得即一丢,
一
.
所以数列”,,是等比数列,
即
一、,. 于是一一,
所以是首项为,公比为的等比数即一去一.
列, 例设数列≥满足
故—, 。一, 一一一。,
其中,∈, ≥.
即一‘∈·
证明:对一切∈,有
—口井一
由,得一