文档介绍：切比雪夫插值节点
带导数条件的插值函数
分段插值函数
二元函数插值简介
《数值分析》 15
取插值结点: a≤x0<x1<······<xn≤b
满足Ln(xk)=f(xk)的 n 次多项式插值余项
其中,
选取: x0, x1 ,······, xn , 使
结论: 切比雪夫多项式Tn+1(x)的全部零点。
拉格朗日插值余项
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n+1阶切比雪夫多项式: Tn+1=cos(n+1)
cos= x 代入得 Tn+1( x ) = cos((n+1) os x )
即
( k=0,1,···,n )
取
f(x)∈C[–1, 1], 令 x = cos, 则有[–1, 1] [0, ]
将g() = f(cos)展开成余弦级数
——切比雪夫结点
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例1. 函数
取等距插值结点: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
x∈[-5, 5]
11(x)=(x+5)(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
11(x) 
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- - - - -

在[-5, 5]区间上,取11个切比雪夫结点
( k=10, 9, 8, ···, 1, 0 )
11(x)=(x – x0)(x – x1)(x – x2)······(x – x10)
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11(x) 
插值函数L10(x)取
切比雪夫结点插值
插值函数L10(x)取
等距结点插值
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已知节点x0和x1处的函数值及导数值
求三次插值函数
H(x)= a0 + a1x + a2x2 + a3x3
满足插值条件
(j = 0,1)
三次Hermite插值问题
x
x0
x1
H(x)
y0
y1
H’(x)
m0
m1
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例2. 已知插值条件:
求3次插值函数.
解:设
得 a0=0, a1=0, 列出方程组
求解, 得
a2 = 3 , a3 = – 2
所以,有
H(x) = 3x2– 2x3
= (3 – 2x)x2
x 0 1
H(x) 0 1
H’(x) 0 0
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利用基函数表示Hermite插值
x0 x1
1 0
0 0
0 1
0 0
x
x0 x1
0 0
1 0
0 0
0 1
x
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两点Hermite插值的误差估计式
证明: 由插值条件知
R(x0)=R’(x0)=0, R(x1)=R’(x1)=0
构造辅助函数
利用 f(x) – H(x)=C(x)(x – x0)2(x – x1)2
取 x 异于 x0 和 x1, 设
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