文档介绍：第29卷第3期 2008年6月衡阳师范学院学报 JournalofHengyangNormalUniversity 可逆分块矩阵的逆矩阵的求法刘新文,王雪松(,湖南衡阳 421008;,湖南衡阳 421001) 摘要:研究了可逆分块矩阵在各种不同条件下逆矩阵的存在性。给出了复杂可逆矩阵简单的有效的求解公式。关键词:可逆分块矩阵;逆矩阵;求法中图分类号: 文献标识码:A 文章编号:1673--0313(2008)O3—0029一O3 矩阵在生物、医学、经济、金融、环境科学及工程技术领域得到了愈来愈广的应用,因此有关矩阵的有效计算问题引起了大家的普遍关注。本文从逆矩阵的定义出发,推证了逆矩阵的各种求解方法。 0引理引理?如果方阵A、。可逆,那么分块矩阵一(三)可逆,且其逆矩阵为一(。0一) 引理2Ⅲ如果方阵B、c可逆,那么分块矩阵一()可逆,且其逆矩阵为T一1一(C。-1) 1定理定理Ⅲ设方阵B、c可逆,那么分块矩阵T一()可逆,且其逆矩阵为T一1一(Bo一一BC一-AIc一) 定理2设方阵A、。可逆,那么分块矩阵T一(三)可逆,且其逆矩阵为T一1一(三)-1一(一A。-l—B,。一) 定理3设方阵A、。可逆,那么分块矩阵T一(会三)可逆,且其逆矩阵为T—l一(会兰--1(一。A一-I一。0一) 定理4设方阵B、c可逆,那么分块矩阵T一(兰)可逆,且其逆矩阵为T一1一(言--1(一cB-1一D,B~C。-i) 2推广定理5设分块矩阵T一(三)可逆,且其子块方阵B可逆,那么(c一。BA)存在,且方块矩阵T的逆矩阵为: T一(竺三--1() ,一(C--DB一A)一DB一(C--DB一A)_。、 IB一+B一A(C--DB一A)一DB一一BA(C--DB一A), 收稿日期:2008一O4一O2 作者简介:刘新文(197O一),男,湖南祁东人,湖南工业科技职工大学讲师。研究方向:高等数学,概率论与数理统计王雪松(1974一),男,湖南祁阳人,湖南交通工程职业技术学院副教授,硕士。研究方向:软件开发,多媒体技术· 维普资讯 30 衡阳师范学院学报证明由题设知分块矩阵T(三言" -7逆,且方阵B可逆。所以有 2008年第29卷)一(。BADB)—nn~t、一t一一又因为丁:(三。B)可(~。BA言)一(一(C--。BA)。B(c一。B~A。)1) (~A)(~。BA言) 点呈)(~(BC~--。B一A一。B~(c一。B一A。)q) f~(c—DBA)DB~ (c—DB一A)~ \B+B_。A(C—DBA)DB~ B-1A(C—DB~A)一I) 上述定理也可以利用待定法证明之,现证明如下: 证明设可逆分块矩阵的逆矩阵为丁一(三丢)(Y) 由可逆矩阵的定义和性质知:T丁=丁t丁:E,即由(1b)式得: 把(2)式代入(1d)式得把(3)式代入(2)式得由(1a)式得; 把(5)式代入(1c)式得把(6)式代入(5)式得/AX+BZ AY十BW \CX+DZCY+DWJ一(AX+Bz—E fAy+BW=0 1CX+DZ—o ICY+DW—Eo :~B Ay y一(C~DB一A)一 W一一B—A(C~DB一A)一 Z—B~(E ~AX) X