文档介绍：排列
一、优先法
例1(1)7位同学站成一排,共有多少种不同的排法?
解:问题可以看作:7个元素的全排列=5040.
(2)7位同学站成两排(前3后4),共有多少种不同的排法?
解:根据分步计数原理:7×6×5×4×3×2×1=7!=5040.
(3)7位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法?
解:问题可以看作:余下的6个元素的全排列——=720.
(4)7位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种?
解:根据分步计数原理:第一步甲、乙站在两端有种;
第二步余下的5名同学进行全排列有种,所以,共有=240种排列方法
(5)7位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?
解法1(直接法):第一步从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有种方法;第二步从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有种方法,所以一共有=2400种排列方法
解法2:(排除法)若甲站在排头有种方法;若乙站在排尾有种方法;若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法,所以,甲不能站在排头,乙不能排在排尾的排法共有-+=2400种.
说明:对于“在”与“不在”的问题,常常使用“直接法”或“排除法”,对某些特殊元素可以优先考虑
二、捆绑法:
例2. 7位同学站成一排,
(1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种?
解:先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有种方法;再将甲、乙两个同学“松绑”
(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?
解:方法同上,一共有=720种
(3)甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种?
解法一:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾,有种方法;将剩下的4个元素进行全排列有种方法;最后将甲、乙两个同学“松绑”
=960种方法
解法二:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,若丙站在排头或排尾有2种方法,
所以,丙不能站在排头和排尾的排法有种方法
解法三:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的四个位置选择共有种方法,再将其余的5个元素进行全排列共有种方法,最后将甲、乙两同学“松绑”,所以,这样的排法一共有=960种方法.
(4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起,另外四个人也必须站在一起
解:将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素,另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素,时一共有2个元素,∴一共有排法种数:(种)
说明:对于相邻问题,常用“捆绑法”(先捆后松).
三、插空法
,
(1)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种?
解法一:(排除法);
解法二:(插空法)先将其余五个同学排好有种方法,此时他们留下六个位置(就称为“空”吧),再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有种方法,所以一共有种方法.
(2)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种?
解:先将其余四个同学排好有种方法,此