文档介绍：数学建模论文班级:商英1002班学号:14号姓名:谭嘉坤指导老师:周爱群由于人体的疾病难以控制和变化莫测,医学中的数学模型也是较为复杂的。在研究传染病传播问题时,人们发现传染病传播所涉及的因素很多,例如,传染病人的多少,易受感染者的多少,免疫者(或感染后痊愈者)的多少等。在将某一地区,某种传染病的统计数据进行处理和分析后,人们发现了以下的规律性: 设Sk表示在开始观察传染病之后第k天易受感染者的人数,Hk表示在开始观察后第k天传染病人的人数,Ik表示在开始观察后第k天免疫者(或感染后痊愈者)的人数,那么 Sk+1=Sk-(1) Hk+1=Hk-+(2) Ik+1=Ik+(3) 其中(1)式表示从第k天到第k+1天有1%的易受感染者得病而离开了易受感染者的人群;(2)式表示在第k+(假设该病的患病期为5 (3)式表示在第k+1天免疫者的人数是第k天免疫者的人数加上第k天后病人痊愈的人数。将(1),(2)和(3)式化简得如果已知S0,H0,I0的值,利用上式可以求得S1,H1,I1的值,将这组值再代入上式,又可求得S2,H2,I2的值,这样做下去,我们可以逐个地,递推地求出各组Sk,Hk,Ik的值。因此,我们把Sk+1,Hk+1,Ik+1和Sk,Hk,Ik之间的关系式叫做递推关系式。现在假设开始观察时易受感染者,传染病人和免疫者的人数分别为将上述数据(5)代入(4)式右边得利用递推关系式(4)反复计算得表30-1。在建立上述数学模型的过程中,如果还要考虑该地区人员的迁入和迁出,人口的出生和死亡所引起的总人数的变化等因素,那么传染病传播的数学模型变得非常复杂。所以必须舍去次要因素,抓住主要因素,把问题简化,建立相应的数学模型。如果将由该数学模型计算的结果与实际比较后,与传染病传播的情况大致吻合,那么我们就可以利用该模型对得病人数进行预测和估计。例如,可以预测若干天后传染病人的人数等等,便于有关的医疗卫生部门作出相应的决策。在上述模型中,易受感染者每天的发病率是1%,它只与易受感染者的人数Sk有关。对于有些传染病,情形更为复杂,它不仅与易受感染者的人数有关,也与传染病人的人数Hk有关,因为传染病人的人数越多,传染病的发病率也就越高。这样,就必须将由(1),(2)和(3)式所给出的模型加以修改。这里,我们假设该地区人口总数为N,是一个常数。于是,Sk=N-(Hk+Ik)(7) 其中Ik为在开始观察后第k天免疫者(或感染后痊愈者)的人数。设传染病人每天的痊愈率为α,则Ik+1=Ik+αHk(8) 最后,假设每天发病人数与易受感染者的人数Sk和传染病人的人数Hk均成正比,且其比例因子为β,那么Hk+1=Hk+βSkHk-αHk(9) 将(7),(8)和(9)组合起来,就得到关于Sk,Hk,Ik的递推关系式: 如果已知N,α和β,并给定S0,H0和I0,那么利用上式就可以计算H1和I1,利用H1和I1,由(7)式,可以计算S1,然后计算H2和I2,再计算S2,……这样,(10)式就给出了关于传染病传播的第2个数学模式。利用数学模型(4)或(10)式可以对该传染病传播的情形作一些定性的分析。设ΔSk=Sk+1-Sk表示从第k天到第k+1天易受感染者人数的变化,ΔIk=Ik+1-Ik表示从第k天到第k+1天免疫者(或感染后痊愈者)人数的变化。从数学模型(4)式可以看到ΔSk=-≤0ΔIk=≥0 所以易受感染者人数只可能减少不会增加,而免疫者人数只可能增加不会减少。现问对数学模型(10)式来说,易受感染者的人数,免疫者的人数以及传染病人的人数各有什么变化规律? 分析:类似于数学模式(4)式的情形,分别计算ΔSk,ΔIk与ΔHk(=Hk+1-Hk),然后加以分析。解由(10)式得: ΔSk=N-(Hk+1+Ik+1)-[N-(Hk+Ik)] =(Ik-Ik+1)+(Hk-Hk+1) =-αHk-βSkHk+αHk =-βSkHk 所以ΔSk≤0,k=1,2,…,即易受感染者人数只可能减少不会增加。因为ΔIk=Ik+αHk-Ik =αHk 所以ΔIk≥0,k=1,2,…,即免疫者人数只可能增加不会减少。现在设ΔHk=Hk+1-Hk表示从第k天到第k+1天传染病人的人数的变化,则由(10)式得Hk=βSkHk-αHk =(βSk-α)Hk, 所以当(βSk-α)>0时,传染病人的人数第k+1天比第k天增加;当(βSk-α)<0时,传染病人的人数相应地减少,也就是说,当易受感染者人数Sk“大”时,可使(βSk-α)>0,从而传染病人的人数增加;当易受感染者的人数Sk“小”时,可使(βSk-α)<0,从而传染病人的人数减少。解