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文档介绍：中国科学院自动化研究所
2013 年招收攻读博士学位研究生入学统一考试试卷
科目名称:数学

考生须知:
1. 本试卷满分为 100 分,全部考试时间总计 180 分钟。
2. 所有答案必须写在答题纸上,写在试题纸上或草稿纸上一律无效。


1. 已知
2 0 0 e2t  1
2t 
A1 1 1 , bte ( ) x , (0)  1

1 1 3  0  0
1)(12 分)求矩阵函数 et A ;

2)(8 分)求微分方程组 x'(t ) Ax ( t ) b ( t ) 满足初始条件 x(0)( 1,1,0)T
的解。
1 0 1
( 分)试求矩阵的奇异值分解。
2. 10 A 0 1 1

000
H
3. 设 n 阶复数矩阵 A ()aij n n 的全部特征值为12, , , n , A 是 A 的共轭转置
矩阵。
nn
)( 分)证明不等式: 22;
1 5 Schur |r ||a ij |
r1 i , j 1
2)(5 分)证明上述不等式中等号成立的充分必要条件是 AHH A AA 。


科目名称:数学
4. (10 分) 试求下面矩阵的 Moore-Penrose 逆
0 2i i 0 2 i2 1

A 0 0 0  2  2  2i 2

0 2 1 1 3i 2 1
其中,i 1 。
5. (10 分) 设某人从外地赶来参加紧急会议,他乘火车、轮船、汽车或者飞机
3 1 1 2
来的概率分别为、、及。他若乘飞机来,不会迟到;而乘火车、轮船、
10 5 10 5
1 1 1
汽车赶来迟到的可能性分别为、、。若此人已迟到,请判断他最有可能是
4 3 12
怎么来的。
6. (10 分) 设两个相互独立的随机变量 X 和Y 均服从正态分布 N(1,) ,若随机
变量 Z X  aY  2 满足条件Var() Z EZ 2 ,求