文档介绍：——从“阿波罗尼斯圆”说起几十年高考及各地各种大小备考,简直可以汇集成题的海洋。但细究起来,其知识源头只不过是少数几个。题的不同根基也屈指可数。题根研究的首创者万尔遐先生经过细究,竟发现在高考的数学正卷中,同一个题根,竟连绵考核了10年以上。感叹之余,写了如下脍炙人口的歌谣:题成海,题成河,说到题根并不多。教材深处留心找,找到题根书变薄。考题多,考题新,多新一片像森林。林中切莫眼花乱,认得题根知考根。上面的这首儿歌,唱出了三种关系:题目与题根的关系;考题与考根的关系;最后,题根与考根的关系。那么,到底什么是题根?一、题根案例【根题】(人教A版必修2,p124,B组,3题。)已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离比为,求点M的轨迹方程.【解析】如图1,设动点,连结MO,MA,有:,化简得:图1,也就是:方程(1)即为所求点M的轨迹方程,它表示以C(-1,0)为圆心,2为半径的圆。评注:,我们****惯上称这种圆为“阿波罗尼斯”,而且是具有“生长性”的好题。在它的基础上,数学人不仅能“看”出它的精髓,释放它的价值。而且以它为“根”,可以“长”出许多好题。(Apolloning,约公元前260~170),古希腊数学家,与欧几里得,阿基米德等齐名。著有《圆锥曲线论》和《平面轨迹》等书。二、理论基础将如上根题推广到一般形式,即得轨迹问题:动点到定点的距离之比为定值λ.(c,λ为正数),求点的轨迹方程.(本题实为2003年北京春季高考题)【解析】依题意,由距离公式:,化简得:【讨论】方程的图形是什么?①当λ=1时,得x=0,也就是线段的垂直平分线(定义这样的直线为阿波罗直线);②当λ≠1时,方程(1)变形得:,化成标准形式:,这是以为圆心,且半径的圆。(定义这样的圆为阿波罗尼斯圆,简称为“阿波罗圆”或“阿氏圆”)。【欣赏】阿波罗尼斯圆与直线有四美:,根据参数的不同,时而表示直线,时而表示圆,这是直线与圆的统一美;≠1时,不妨设c=1,可得:注意到:,可得:,说明这3数之间存在勾股关系,这反映了阿波罗轨迹内部的结构美;(1)中,如圆心在y轴右边,如令,代入(1)得:方程(3)与具有类似的形式,只不过由于,圆心在y轴左边。这两个方程表示的图形关于y轴对称。例如分别取时,分别代入方程(2)与(3),得:和,它们的图形关于y轴(阿波罗直线)对称。所以方程(1)又彰显解几图形的对称美与完整美;(1),只要λ≠1,它都表示圆,当λ无限接近于1乃至等于1时,其图形最终成为直线,这又是曲线由量变到质变的运动美。三、考场精彩【题1】(,17题(2))如图2,在平面直角坐标系中,点,,,使,求圆心的横坐标的取值范围。【解析】点C在直线上,故设∵半径,∴圆C的方程是:.满足的轨迹正是阿波罗尼斯圆D,由,这里圆心为D(0,-1),:图2即,:图2可以直观地说明两圆公共点的变化情况,当时,圆C为与所求圆D相切;当时,圆C为,也与所求圆D相切。这样,答案的正确性也就不言而喻了.【题2】[2012·苏南三校联考,15题]已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程;(2)若点Q在直线l1:x+y+3=0上,直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M,求|QM|的最小值,并求此时直线l2的方程.【解析】(1)设点P的坐标为(x,y),则=2,化简可得(x-5)2+y2=16即为所求.(2)如图3,曲线C是以点(5,0)为圆心,图34为半径的圆,则直线l2是此圆的切线,连接CQ,则△CQM必为直角三角形,|QM|==,当CQ⊥l1时,|CQ|:,此时|QM|的最小值为=4,此时△CQM为等腰直角三角形,故这样的直线l2有两条,即l2的方程是x=1或y=-:阿氏圆求得多了,直接运用公式验证也是可取的。例如本题中,应有,代入公式,立即得到:(x-5)2+y2=16.【题3】(,13题)满足条件的△ABC的面积的最大值是.【解析】显然这又是一例“阿波罗圆”,建立如图4的直角坐标系,因为有,代入阿波罗圆公式得:。设圆心为M,显然当CM⊥x轴时,△ABC面积最大,:既然△ABC存在,说明其轨迹不包括与x轴的两个交点P,Q,现在问:P,Q这两点究竟有什么性质?由于,∴为△ACB的内角平分线;同理,为△ACB的外角平分线。这就是说,P,Q分别是线段AB的内分点和外分点,而PQ正是阿氏圆的直径。于是“阿波罗尼斯圆”在我们中国又被称为“内外圆