第二章第二章第二节.doc

文档介绍：、⑴任给,由于,且,所以存在,当时,有,从而,当时,有,所以有。⑵任给,因为在上连续,所以,,由于,从而。2、将n等分,分点为,则将也分成了n等份,因为在上下凸,所以,,故。由于在和上可积分,且与分别是在与上的积分和式,令得。3、不妨设,使。任给,因为在连续,所以存在,使,且,故,又由于,所以存在,使得当时,有,从而当时,有,即。4、反证法。不妨设存在,使得,因为在处连续,所以存在,使得,且,,取,则,且,这时,(因为在上连续非负且不恒为零)与条件矛盾。5、记,则在上可导,且,由条件知,即,,。令得,;当时,,所以,所以当且时,有,上式对显然成立,故,。注:“”改为“”。6、⑴首先证明存在,因为在上可积,所以有界。由于,故对的任一划分,有,其中与分别是与在上的振幅。因此由可积知可积。将等分,分点为,因为为下凸函数,所以,其中与分别是与在上的积分和式,令得。⑵。将n等分,分点为,因为为上凸函数,所以,令得,。7、将n等分,分点为,由积分中值定理知,,所以,,又,从而,故。注:以为周期,故。8、因为,所以,,,故在处连续。9、因为,其中介于与之间,所以,由于,所以存在最大,最小值,即,从而,故,所以存在,使得,因此。注:并不是的连续函数,故不能直接用积分中值定理,得。