文档介绍：常微分方程的常数变易法及其应用
[摘要]本文归纳整理了常微分方程常数变易法的几个应用.
[关键词]常数变易法; 微分方程; 齐次; 系数
Constant Variating Method and Application in Ordinary Differential Equation
Zou Pengchao
(Zhixing College of Northwest Normal University Gansu Lanzhou 730070)
Abstract This paper is summarised several applications of constant variating method in ordinary differential equation
Keywords constant variating method ; differential equation ; homogeneous
coefficient
一、关于常数变易法
常数变易法是微分方程中解线性微分方程的方法,就是将齐次线性微分方程通解中的变换为函数,它是拉格朗日(Lagrangr Joseph Louis,1736-1813)十一年的研究成果,微分方程中所用的仅是他的结论。
二、常数变易法的几个应用
一阶线性非齐次微分方程
(1)
它所对应的齐次方程为
(2)
是变量分离方程,它的通解为
(3)
下面讨论一阶线性非齐次微分方程(1)的解法。
方程(2)与方程(1)既有联系又有区别设想它们的解也有一定的联系,(3)中的恒为常数,它不可能是(1)的解,要使(1)具有形如(3)的解,
不再是常数,将是的待定函数,为此令
(4)
两边积分得到
将(4).(5)代入(1),得到
(5)
即
两边积分得
(6)
这里是任意的常数,将代入得到
这就是方程的通解
例1 求方程的通解,这里的为常数.
解将方程改写为
(7)
先求对应齐次方程
的通解,得
令(8)
微分得到
(9)
将(8)、(9)代入(7)中再积分,得
将其代入(8)中,即得原方程的通解
这里是任意的常数
例2 求方程的通解.
解原方程改写为
(10)
把看作未知函数,看作自变量,这样,对于及来说,方程(10)就是一个线性
先求齐次线性方程
的通解为
(11)
令,于是
代入(10),得到
从而原方程的通解为
这里是任意的常数,另外也是方程的解.
初值问题
为了求初值问题
常数变易法可采用定积分形式,即(4)可取为
(12)
代入(1)化简得
积分得
代入(12)得到
将初值条件、代入上式于是所求的初值问题为
或
定理
①一阶非齐线性方程(1)的任两解之差必为相应的齐线性方程(2)之解;
②若是(2)的非零解,而是(1)的解,则()的通解可表为,其中为任意常数;
③方程(2)任一解的常数倍或两解之和(或差)仍是方程(2)的解.
证明①设是非齐线性方程的两个不同的解,则应满足方程使
两式相减有
说明非齐线性方程任意两个解的差是对应的齐次线性方程的解.
②因为
故结论②成立.
③因为
故结论③成立.
我们知道常数变易法用来求非齐次线性微分方程的通解十分有效,,具有以下优点:①无需求非齐次方程的特解,从而免去记忆二阶微分方程各种情况特解的形式;②无需求出相应齐次方程的全部解组,仅需求出一个即可;③可得其通解公式.
现考虑二阶常系数非齐次线性微分方程
(1)
其对应的齐次方程为
(2)
下面对(2)的特征方程
(3)x
有实根和复根加以考虑
①若为(3)的一实根,则是(2)的一解,由常数变易法,可设(1)的解为通过求导可得
(4)
将(4)和代入(1)化简得
这是关于的一阶线性方程,其通解为
(5)
②若为(3)的一复根,不妨设,且,则f为(2)一解,由常数变易法,可设(1)的解为,与情形①的推到类似,不难求得方程(1)的通解公式为
(6)
例1求的通解
解相应的特征方程为
有解,故设非齐次方程的解为
对其求导得
代入原方程化简得
其通解为
所以
从而原方程的通解为
例2求的通解
解相应的特征方程为
有