cap6 3~4 惯性定理 正定二次型与正定矩阵.ppt

文档介绍：。一个实二次型,既可以通过正交变换化为标准形,也可以通过拉格朗日配方法、初等变换法化为标准形,显然,其标准形一般来说是不唯一的。但比较各个不同的标准形会发现,其中所含有的系数不为零的平方项的个数是确定的,项数等于二次型的秩,且正平方项、负平方项的个数也相同。即有下列定理:.证明略(P117).说明: 因为标准形的矩阵B是对角阵,对角阵B的秩等于对角线上非零元素的个数p+q,所以二次型f的秩=矩阵A的秩=矩阵B的秩=p+q=r即,对一n阶实对称阵A,不论取怎样的可逆阵C,只要使di>0(i=1,2,...,p+q)p+qn成立,则p和q是由A唯一确定的..定义1即二次型XTAX(所化成)的标准形中:正平方项的项数(与A合同的对角阵中正对角元的个数),称为二次型(或A)的正惯性指数;负平方项的项数(与A合同的对角阵中负对角元的个数),称为二次型(或A)的负惯性指数;正负惯性指数的差为符号差。为此特给出下列定义:.n阶实对称矩阵A的秩为r,正惯性指数为p,则负惯性指数q=r-p符号差p-q=2p-r与A合同的对角阵的零对角元个数为n-()右端称为二次型的规范型,显然,它是唯一的。()式中的对角阵称为A的合同规范形。.或设A为n阶实对称矩阵,若A的正负惯性指数分别为p和q,则A~diag(1,...,1,-1,...,-1,0,...,0)()其中1有p个,-1有q个,0有n-(p+q)个。.