文档介绍：北京师范大学学报 198 3年第二期循环矩阵的逆矩阵与分解定理李天林(数学系) 循环矩阵在编码理论数理统计等学科中都有应用它的逆矩阵的求法更引起了人们的兴趣 195 5年 D Grens p n在〔 1〕中给出一种求循环矩阵的逆矩阵的方法但作者只用一个三阶循环矩阵的例子加以说明而对所给方法没有给出证明 1962年 TL Gi lb ert在〔 2〕中利用Jrd n标准形的有关理论也给出一种求循环矩阵的逆矩阵的方法 19 79年 S R S l在〔 3〕中给出了一种与〔 1〕〔 2〕不同的初等算法 19 51年李炯生在〔 4〕中给的算法与〔 1〕的算法相同但〔 4〕给出了这个算法的初等证明本文改进了〔 1〕〔 4〕的方法和证明并给出新的方法下面提到的矩阵如无特别说明都是指,阶循环矩阵并且利用〔 5〕的符号和下面两个结论 1)在复数域中必存在一个,阶复可逆矩阵占它能使复数域上所有的,阶循环矩阵同时对角化设矩阵 A是复数域上的一个任意”阶循环矩阵 a) 牌犷几猛一一 A L 为了书写的方便把这个,阶循环矩阵简记为 A =A( a a ?) 令 1 1 1 璧了里公?‘)?{ ?:{ l ee 一一那么( 1) 11 ! 0气 f J A J= f ( ) f ( ) 本文 19 82年 7月 10 日收到叫l 此处 l f () = + x+?+ =艺“了叫做 A的行多项式= 1 ?是 1的全部”次单位根 Zk 叮洲= C +‘in丝竺 k 一。12?,一 1 ? 门| I !:: l| |||||||||‘月| | 川| 一||| 茗是虚数单位护=一 1 由于相似矩阵有相同的秩于是由( 1)可知 A可逆当且仅当 1 日 f ( )今。 i 0 2) A是”阶循环矩阵如 A可逆那么 A的逆矩阵 A 也是循环矩阵我们将利用等式( 1)来确定求 A 的方法为此先求矩阵占的逆矩阵 J l 1 l o 怜0 0 ! 、00 怜。/ t 盖 T“; 0 0 怜P 外 0 怜 nn 一一 n 0 0 P O 二 1 0 二 O nn 一一尸=P 1 自时昨一生占一: 。尸一:{ ”( 盖若 A可逆就有为是而知处此因于易从{ f “, ) A一{ 了“). ??{ \ f ( )/ 占 2 O f ( i) f ( l) f ( 1) f ( 1) 广( ) f ( ) 于f ( ) 丫f ( )? f ( ) 一f ( ) 勇f ( ) : 二;f ( ) ){“““}}“几一艺”: {} ‘花“?::: { Z \1 二二主二二主”了! 1一怜( 2) 注意到循环矩阵由它的第一行的元素所决定又 A 是循环矩阵由等式( 2)可以算出 A 的第一行的所有元素于是有以下公式( 3) 设 A =A ( b b ? b ) 那么由等式( 2)根据矩阵的乘法规则可得以下公式。一青玄: ,, 一( ), 一。 12一 1 i ( 3) ( 3)就是要找的循环矩阵的求逆公式这个算法与〔 3〕不同与〔 1〕〔 4〕也有所区别虽然(3 )与〔 4〕给出的公式符号一致但本文的行多项式f (x) 与〔 4〕的f (x) 是不同的这里由于利用了循环矩阵的逆矩阵仍为循环矩阵这一特点和,次单位根的性质使证明更为简洁当然在一般情况下用公式( 3)时需要进行大量的三角函数的计算然而对许多特殊而重要的情况只要充分利用,次单位根的性质就可以比较容易地求出所要的逆矩阵来下面将给出若千重要类型的循环矩阵及其逆矩阵 1 等比循环矩阵设 A =A( l a 一) 笋 1 叫等比循环矩阵它的行多项式是 1 f ( ) =艺0 卜 f ( ) =艺’{ 1一( 1一 l一 1一杯于是由公式( 3) 1 1 1 1 一百忠知了气“,一丽万二矛态“气‘一, 了’一艺夕= 1 其余情况故一曲翻 2 1 d —一、l一 1一一 l 一召.. 0 一 a 0 0 等理循环矩阵 A =A( +h +Zh?+( ”一 1)h) h笋 0 叫等差循环矩阵它的行多项式是 1 1 2 f ( x) =艺( a+j h) x’=艺’+h x艺(夕+l) 0 0 1 J 气)= J L )= ”+万”气”一) 1 2 1 2 f ( ) = 。艺{ +h艺(j +z)卜艺 l +h 艺(了+1){ 0 0 0 0 利用公式 1艺卜 0“不是,的倍数) j 0 艺介{ 1 怜 1一年 1 故 f ( ) =h 二h (j +1)l “+‘,‘一,〕? 艺 l 孙 I一—一那 1一一嗽: 一) 一”h 1一公= 12一”一 l 用公式( 3) 1 b =生又外一“一‘一“, 一青〔击一命蕙: 一( 1一)〕』 1 =生了一生一一-三宁: 怜、j(1 ) 赫昌 1 1 , 十- ”九昌生‘一通- 一工、”\J (