文档介绍：浅谈中心极限定理摘要:中心极限定理的产生具有一定的客观背景,最常见的是林德伯格-莱维中心极限定理和棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。它们表明了当n充分大时,方差存在的n个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布,在实际中的应用相当广泛。本文讨论了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。关键词:中心极限定理;正态分布;生活中的应用。引言:在实际问题中,常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响,如测量误差、炮弹射击的落点与目标的偏差等。同时许多观察表明,若一个随机变量是由大量相关独立的随机因素的综合影响所构成的,而其中每一个随机因素的单独作用是微小的,则这样的随机变量通常是服从或近似服从正态分布。这种现象就是中心极限定理产生的客观背景。在概率论与数理统计中,中心极限定理是非常重要的一节内容,而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。王勇老师讲到中心极限定理时,曾非常激动地说这个定理一被提出便震惊了全世界,而且重复了数遍。由此足以见得中心极限定理的重要性。目前我们研究的是独立同分布条件下的中心极限定理:林德伯格-莱维中心极限定理:设{'〃}是独立同分布的随机变量序列,旦E(X,)=〃,VMXj)=b2>o存在,若记XXj-叫z=l则对任意实数y,有这个中心极限定理是由林德伯格和莱维分别独立的在1920年获得的,定理告诉我们,对于独立同分布的随机变量序列,其共同分布可以是离散分布,也可以是连续分布,可以是正态分布,也可以是非正态分布,只要其共同分布的方差存在,且不为零,就可以使用该定理的结论。只有当n充分大时,匕才近似服从标准正态分布N(°,l),而当n较小时,此种近似不能保证。也就是说,在n充分大时,可用N(0」)近似计算与匕有关事件的概率,而n较小时,此种计算的近似程度是得不到保障的。当匕〜N(°J)时,则有刀 ZXj〜N(gS),K〜N(〃,i=l现如今旅游、汽车等行业越来越受欢迎。在这些行业中就会用得到中心极限定理C例如,某汽车销售点每天出售的汽车服从参数为人二2的泊松分布,若一年365天都经营汽车销售,且每天出售的汽车数是相互独立的,求一年中售出700辆以上汽车的概率。[1]解:设为第i天出售的汽车的数量,则HL……+&65为一年的总销量,由E愆)=Var(&)=2,知E(言)=365x2=730利用中心极限定理得中(700—730)P(S>700)=l-P(&W700)el—如花二1-中(),我们也可用它来解决一些比较抽象的问题,比如下面的极限求解问题。例如,利用中心极限定理证明:〃nk1limg-“文一=—〃*Mk!2 ⑴证明:设{'}独立同分布且金〜P(l),k=l,2…….则罗加"]n(n \n(n \nkP~n\I*=i k;=i =i 〜P(n)k=0又...由中心极限定理知:(n \nk=l撬=i )=户二£(4-1)<0-0)(0)ynk=i .= 8)〃盘1lime〃文一=—.e任妇2如果在林德伯格-勒维中心极限定理中,X〃服从二项分布,就可以得到以下的定理。棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理:设n重伯努利试验中,事件A在每次试验中出现的概y*=S,L〔P率为p(0〈p〈l),记$〃为n次试验中事件A出现的次数,且记I"。,则对任意limp(K:<)‘)=心)=.「f"力实