文档介绍：《矩阵分析》试题1.(15分)设M可逆且A可逆,证明X=A~l+A~lB(M/A)~lCA~\=-A']B(M/A)'\U=-(M/Ay1CA~\=(M/Ay1,M/A=D-CA~':由题设知M■Io-A~Ao-CA~lICDoI0D-CA~]B且4可逆;进行分块初等行变换和分块初等行变换可逆,A0所以:'AB~■/01CD-CA~lMoD-CA~]BI-A-XB所以IA o・-l_Io-oI0D-CA~]B-CA~'I■IO'(d—cRb)t-CA-'I0A~[+A~]B(D-CA-]ByiCA~i-A']B(D-CA~]B)']一(D-CA-'B)-'CA'] (D-CA-'B)-'XY~UV其中=-A']B(M/A)~\U=-(M/AY1CA'\=(M/AY\M/A=D-CA'}B.(20分)设Ac〃","4)=枷点,…国},证明存在矩阵序列K,使得hmT^}ATk=diag(s”ATOO(提示:若人=,可取4=diag0,l))0=diag(S],S2,...,s〃)〃",证明P>0等价于(15分)令P=X+iY是Hermite矩阵,其中-Y>0解:证明:充分性:P是Hermite矩阵,P,=P,X=XT,Y=-VT;P>0,则对任意n维非零复列向量有xflPx>0,xh(P4-Ph)x=2(xhPx),所以(P+肿)为HermitI •正定矩阵。令*=:,8=:,则泌=[1I…1],Bu=[-i-i…-/],AUPA>0,B^PB>0,AhPhA>0, >0,则XrTxTAhX4+BhYA+AhKtA+BWB>0ytXT>0,可得>0oY=-YT:且(P+pH)为Hermit必要性:由P是Hermite矩阵,则PH=P,X=X「X-Y X矩阵,又 >0,可得YX YJi >0,由上逆推可得P>0oXT原命题得证。(20分)设Ac心〃,证明(a+at\ (a^at\4in—r-<Re(2,(A))<4ax——,i=1,2,...,〃;A+妒若 Hurwitz稳定,则A也是Hurwitz稳定;2A+若 Schur稳定,且A是对称的,则A也是Schur稳定。2ft?:(a)证明:Aa-AtW~=P如…々)PT,有不等式人+疽),A+疽。(A+AT] I< ".、… 由Ax=Ax,有亍A,=方亍,则x=—xTXx+—xTZx2 2m=Re(&(A))Fx又由小等式An,n\-^—\I<—^—f有TA+Af]T\A+A7] T衣皿谊 /x<xr x=Re(2/.(A))xrxA+At\—T-VRe"))A^AtT~同理,由不等式 <2maxRe(2,(A))<2maxA+A「2I■IMA所以(A+Ar\*、、、i(A+Ar}.tcAnin—?—^Re(A(^))^4ax ,1=1,2,...,〃k2 7 \ 2 7(b)证明:AiAt A+A1'由于——-——Hurwitz稳定,所以Re(4(——-——))<04in-y-<Re(A(A))<2max——,i=1,2,...,〃所以A也是Hurwitz稳定;(c)证明:A+ A+由于—^—Schur稳定,且A是对称的,所以Re(双方一))的大小在单位圆内,同理-・*+妒)n/。/A、、 ° (A+A’). ._Anin—^―<Rea,.(A))<Aniax——,z=l,2,...,ny