文档介绍：材料力学课程论文院(部):船舶工程学院专业:机械设计制造及其自动化小组:1013105班第二小组组长:易科胜指导教师:刘荣刚曲梁正应力公式推导论文摘要:根据矩形截面直梁的正应力推导方法,推导出在纯弯曲情况下曲梁正应力的近似公式。当曲梁上的分布载荷可用单一的多项式表示时,该公式在取时与直梁正应力的精确解一致,在其他情况下有些误差,但比弹性力学的结果来的简单,并且在一定范围内可以直接应用,完全满足精度要求。本文给出了材料力学中曲梁的正应力公式、中性层位置方程及该公式与弹性力学结果的比较,并讨论了该公式和方法的普适性、应用范围。关键词:纯弯曲、正应力、剪应力、中性层、材料力学、弹性力学。假设:在材料力学直梁的弯曲正应力公式推导中,引入了平面假设和纵向层之间没有正应力的假设。为此我们仍然假设曲梁在纯弯曲的情况下,变形后截面仍是平面且纵向层之间没有正应力。曲梁仅受纯弯曲,不考虑复杂受力情况。曲梁正应力公式推导(详细过程见附录)图(a)图(b)变形几何关系弯曲变形前、后的梁端如图(a)所示,曲梁的截面尺寸如图(b)所示。图(a)中为中性层的曲率半径。因为变形前后中性层长度不变知道:距离中性层为处变形后的长度:求得线段的应变为:物理关系因为纵向层之间无正应力,每一纵向层都是单向拉伸或压缩。当应力小于比例极限时,由胡克定律知:静力关系由于内外力必须满足平衡方程和,故有。即可得:②自然成立③横截面上的内力系最终只归结为一个力偶,即弯矩。代入式得:又综上所述:中性层位置方程为曲梁正应力公式为当ρ→∞时曲梁正应力公式退化为直梁正应力公式图(1)图(1)是令做出的一簇曲线,可知随着的增大都逐渐趋于。实际上ρ为无穷大时,曲梁退化成直梁,理应趋于0,说明该公式正确。图(2)图(2)是取,,,做出的两条曲线。由图可知:时,,,实际上直梁时,,说明,曲梁正应力公式退化直梁正应力公式。与弹性力学结果的比较:弹性力学中曲梁正应力公式:其中:上述公式是从单位宽度的梁来考虑的。由于公式中的相同字母含义不一样,必须将字母统一,并且中的应该为1。推出:式中,和弹性力学中的,是相同的,分别表示内半径、外半径。其中:图像输出:图(1)中取;图(2)中取。图(3)图(4)图(3)可知:采用材料力学的方法所推出的解与精确解几乎没有误差。图(4)可知:随着的增大,材料力学的解不能很好的符合精确解,有一定偏差。并且在时相差最大,%远超出5%的工程许用范围,故该公式不适用。通过数值(具体数值见附表)分析可以得出:的范围内最大误差在5%左右,故截面尺寸在该范围内的曲梁可以直接利用该公式,完全满足精度要求。如果,最大误差在15%左右。:;;()趋于无穷时,其正应力公式趋于直梁的正应力公式。,当矩形截面的长宽比小于等于2时,梁内任何一点正应力的大小与精确解的误差都在5%内。其它情况最大误差较大,超出5%的许用误差。附录:公式的具体推导过程。应变:=当应力小于比例极限时,由胡克定律知:以、式代入式,得即以、式代入式,得自然成立以、式代入式,得代入式,得以、式代入式,得附表:数值比较:b/a=3r弹性力学精确解材料力学的解差值相对误差 --% ---% ---% ---% ---% ---% ---% ---% ---% ---% ---% --% --% --