文档介绍：难点 35 高考数学重点难点复****导数的应用问题利用导数求函数的极大(小)值,求函数在连续区间[ a,b]上的最大最小值, 或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸,这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化,因而已逐渐成为新高考的又一热点. 本节内容主要是指导考生对这种方法的应用.●难点磁场(★★★★★)已知 f(x )=x 2+c,且f[f(x)]=f(x 2 +1) (1) 设g(x )=f[f(x)],求g(x)的解析式; (2) 设φ(x )=g(x)-λf(x ),试问: 是否存在实数λ,使φ(x)在(-∞,-1) 内为减函数,且在(-1,0)内是增函数.●案例探究[例 1]已知 f(x )=ax 3+bx 2+ cx(a≠0)在x=±1时取得极值,且 f (1)= -1. (1) 试求常数 a、b、c的值; (2) 试判断 x=±1是函数的极小值还是极大值,并说明理由. 命题意图:利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入. 是导数应用的关键知识点,通过对函数极值的判定,★★★★★级题目. 知识依托:解题的成功要靠正确思路的选择. 本题从逆向思维的角度出发, 根据题设结构进行逆向联想,合理地实现了问题的转化,使抽象的问题具体化. :本题难点是在求导之后,不会应用 f′(± 1)=0 的隐含条件,:考查函数 f(x)是实数域上的可导函数,可先求导确定可能的极值,再通过极值点与导数的关系,建立由极值点 x=±1所确定的相等关系式,: (1) f′(x )=3 ax 2 +2 bx+c∵x=±1是函数 f(x)的极值点, ∴x=±1是方程 f′(x )=0, 即3ax 2 +2 bx+c =0的两根. 由根与系数的关系,得???????????13 03 2a c a b 又f (1)= -1,∴a+b+c=-1, ③由①②③解得 a=2 3,0,2 1??cb , (2) f(x )=2 1 x 3-2 3 x,∴f′(x )=2 3 x 2-2 3 =2 3 (x- 1)( x +1) 当x<- 1或x>1时, f′(x)>0 当- 1<x<1时, f′(x)<0 ∴函数 f(x)在(-∞,-1)和(1,+ ∞)上是增函数,在(-1,1)上是减函数. ∴当x=-1时,函数取得极大值 f(- 1)=1, 当x =1时,函数取得极小值 f (1)= -1. [例 2]在甲、乙两个工厂, 甲厂位于一直线河岸的岸边 A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸 40km 的B处,乙厂到河岸的垂足 D与A相距 50 km ,两厂要在此岸边合建一个供水站 C ,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a元和 5a元,问供水站 C建在岸边何处才能使水管费用最省? 命题意图:学****的目的,就是要会实际应用,本题主要是考查学生运用导数知识解决实际问题的意识,思想方法以及能力. 知识依托:“问题情景”译为数学语言,找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化,形式化,抽象成数学问题,再划归为常规问题,选择合适的数学方法求解.