文档介绍：第二章一类具有四阶细焦点的平血六次系统的定性分析2」引言JX-Jr^Jr木章将讨论如下一类平面六次系统:=y=p(x,y)q 4 4 33=-x+5y+a{x^y+a^x+a3xy+a4xy=Q()其屮q(i=l,2,3,4)均为任意实数,对该系统的奇点进行了分类,利用基于PoincareS想的形式级数法和对称原理来进行六次多项式系统中心焦点的判定;利川Hopf分支理论,根据系统参数的变化时焦点稳定性的变化,分析系统存在极限环的充分条件和生成环的稳定性条件。:=y=pU,y)(2」)=_x+莎+a}x2y+a2x4+a3x4y+a4x3y5=Q(x,y)其屮6,Q],a2,a3,a4为任意实数。定理221对于系统(),当》HO时,有(1)若勺=。时,可以得到有限处实奇点只有O(0,0),fi-2<J<0时为稳定的粗焦点,0v/v2时,为不稳定的粗焦点(2)若禺工0时,则有限处的实奇点有O(0,0)和N0)两个,且O(0,0)点的性态同上,而N点为系统的鞍点证明:考虑方稈组jp(x,y)=y=OC A A O12(^,y)=-a:4-dy+aAxy+a2x+a3xy-^-a4x'y=0(1)当勺=0时,可以得到有限处的奇点为O(0,0),由dP_dxdPSQdxSy=0=1=-\+2a}xy+4a2x^+4a3x^y+3a4x2y?,=j+a}x2+6/3x4+3a^y2可得系统的线性近似系统的Jacobi矩阵为Jo=dxdQdxdP()则系统的近似系统的特征方程为其屮A=y—4,从而当・2v/v0时,O(0,0)为稳定的粗焦点;当0<J<2时,O(0,0)为不稳定的粗焦点。当⑦工0时,可得有限处的奇点为O(0,0)和N(y0)o现在利用p・q参数判也2别法分别对这两种奇点进行判定。O(0,0)性态同上,现对N(丄,0)进行判定,令()\la2式中的喘,网,可以得到系统的线性近似系统的Jacobi矩阵为、丿护¥辺¥ap-axao&其特征方程为-A1det(Jv-2E)=349+話+盒g"有"<。,根据皿数判定法则知,N社,。)是系统的鞍点。0当》二0时,对应于(2」)式的线性系统的系数矩阵为 ,故0(0,0)是系统()(-10丿所对应的线性系统的屮心。需要对奇点O(0,0)进行屮心焦点判定。下曲采用基于Poincare思想的形式级数法來研究当〃=0时奇点0(0,0)性态。(),当/=()时,有:当切>0时,O(0,0)为一阶不稳定的细焦点;当⑷V0时,O(0,0)为一阶稳定的细焦点;当6Z,=0,。3>°时,0(0,0)为二阶不稳定的细焦点;当e=(),如<0时,O(0,0)为二阶稳定的细焦点;当4=0,a3=0,a2a4>0时,0(0,0)为四阶不稳定的细焦点;当如=0,6Z3=O,a2a4<0W,O(0,0)为四阶稳定的细焦点;当%=0,6/3=0,时,a2a4=0时,O(0,0)为系统的中心;证明:当时,令形式级数F(x,y)=x2+y2+F3(x,y)+耳(兀,y)+...+耳(兀,刃+...其屮Fk(x,y)=工a*是x与y的k次齐次多项式(k=3,4,5...),i+j=k则有dF dFdxdFdx = 1 dt dxdtdxdt=(2卄坐+坐+•••)乞+(2y+坐+殂+•・・)©()y+印疋尸)dxdxdt dydydt=(2卄坐+些+・・・)y+(2y+坐+坐+•••)(-兀+。心+°2*+。屛dxdx dydy令()式右端的3次帚项Z和为0,则有垩y-並*0dxdy令x=rcos6y=rsin0将上式取极坐标x=rcos^,y=/^sin<9代入式屮,则有^F,(rcos/9,rsin^)._5F,(rcos0,rsin3) _ - 厂sin0 rcos0=03(rcos0) 6(厂sin0)化简示可得:-广0佗(cos&,sin0)dcos0PdF3(cos0,sin0)dsin03(cos0) dO 3(sin0) dO消去广彳后可得:dF3(cos^,sin0)dO即可知:F3(xyy)=0令()式右端的4次幕项Z和为0,则有殂y-坐x+2g亍=o去•労1令x=rcos0y=rsin0将上式取极坐标兀=rcosd,y=rsinO代入式屮,则有化简后可得:=-2cos2Osin,0-r4dF4(cossindcos0 /^^(cos<9,sin0)dsin03(cos0) dO S(sin^) dO消去厂4后可得:卜面分4种情形进行讨论(1)当绚工0时,因为J2d]cos'Osin?创&=2d]jcos2<9sin2OdO^O改取"满足方程处4(cos0,si询=