文档介绍：条件概率专题一、知识点①只须将无条件概率( ) P B 替换为条件概率)(ABP ,即可类比套用概率满足的三条公理及其它性质②在古典概型中---)( )()( )()(A BAAP BAPABP???? AB A?事件包括的基本事件(样本点)数事件包括的基本事件(样本点)数 3在几何概型中---)( )()( )()(A BAAP BAPABP????( , , ) ( , , ) AB A?区域的几何度量长度面积体积等区域的几何度量长度面积体积等条件概率及全概率公式 . 对任意两个事件 A、B,是否恒有 P(A)≥P(A|B). 答: 不是. 有人以为附加了一个 B 已发生的条件, 就必然缩小了样本空间, 也就缩小了概率,从而就一定有 P(A)≥P(A|B),, 可能 P(A)≥P(A|B),也可能 P(A)≤P(A|B),下面举例说明. 在0,1, …,9这十个数字中,任意抽取一个数字,令 A={ 抽到一数字是 3 的倍数};B 1={ 抽到一数字是偶数};B 2={抽到一数字大于 8}, 那么 P(A)=3/10, P(A|B 1)=1/5, P(A|B 2)=1. 因此有 P(A)> P(A|B 1),P(A)<P(A|B 2). . 以下两个定义是否是等价的. 定义 A、B满足 P(AB)=P(A)P(B),则称 A、B相互独立. 定义 2. 若事件 A、B 满足 P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B), 则称 A、B : P(A|B)=P(AB)/P(B)或P(B|A)=P(AB)/P(A) 自然要求 P(A)≠0,P(B)≠0, 而定义 1 不存在这个附加条件, 也就是说,P(AB)=P(A)P(B) 对于 P(A)=0 或P(B)=0 也是成立的. 事实上,若P(A)=0 由0≤P(AB)≤P(A)=0 可知 P(AB)=0 故P(AB)=P(A)P(B). 因此定义1与定义2不等价,更确切地说由定义2可推出定义1,但定义1 不能推出定义 2,因此一般采用定义 1更一般化. . 对任意事件 A、B, 是否都有P(AB)≤P(A)≤P(A+B)≤P(A)+P(B). 答: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)(*) 因为 P(AB)≥0,故P(A+B)≤P(A)+P(B). 由P(AB)=P(A)P(B|A),因为 0≤P(B|A)≤1,故P(AB)≤P(A); 同理 P(AB)≤P(B),从而 P(B)-P(AB)≥0,由(*) 知P(A+B)≥P(A). . 在引入条件概率的讨论中,曾出现过三个概率:P(A|B),P(B|A),P(AB). 从事件的角度去考察,在A、B相容的情况下,它们都是下图中标有阴影的部分, 然而从概率计算的角度看,? 答: 概率的不同主要在于计算时所取的样本空间的差别: P(A|B)的计算基于附加样本空间Ω B; P(B|A)的计算基于附加样本空间Ω A; P(AB)的计算基于原有样本空间Ω. . 在n个事件的乘法公式: P(A 1A 2…A n)=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n|A 1A 2…A n-1) 中, 涉及那么多条件概率, 为什么在给出上述乘法公式时只提及 P(A 1A 2…A n-1)>0 呢? 答 : 按条件概率的本意, 应要求 P(A 1)>0, P(A 1A 2)>0, …,P(A 1A 2…A n-2)>0, P(A 1A 2…A n -1)>0. 事实上, 由于 A 1A 2A 3…A n-2A 1A 2A 3…A n-2A n-1, 从而便有 P(A 1A 2…A n-2) ≥P(A 1A 2…A n-1)>0. 这样,除P(A 1A 2…A n-1)>0 作为题设外, 其余条件概率所要求的正概率,如P(A 1A 2…A n-2)>0, …,P(A 1A 2)>0, P(A 1)>0 便是题设条件P(A 1A 2…A n-1)>0 的自然结论了. . 计算P(B)时,如果事件B的表达式中有积又有和,是否就必定要用全概率公式. 答: 不是. 这是对全概率公式的形式主义的认识, 完全把它作为一个”公式”来理解是不对的. 其实, 我们没有必要去背这个公式, 应着眼于 A 1,A 2,…,A ,对于具体问题,若能设出n个事件A i,使之满足(*) 就可得. (**) 这样就便于应用概率的加法公式和乘法公式. 因此, 能否使用全概率公式, 关键在于(**) 式, 而要有(**) 式, 关键又