文档介绍：举几个熟悉的例子。如果一点的应力是静水压力状态,则有o产在塑性力学中需要偏应力表达,可把球量部分从一点应力中分解出来得到,即Sij=6j-P0°在特征值问题中,我们可得到:ClqXj-Ax.=ClqXj-迈jXj=(a..-垃)Xj,这里利用了克氏符号(lj的指标置换功能。各向同性线弹性体的本构方程的一种形式为:5=久町孤+2“6。笛卡尔坐标系中单位基矢量的叉积满足:e}xe2--e2xe}-e.()e2xe^=—e3xe2=e}e3x勺=-e{xe3=e2e}xe}=e2xe2=e3xe3=0()把以上9个等式统一写成:弓xj=eijkek(z,J,k按1,2,3循环取值)式中弓从为引进的置换符号(i符号),其定义为:1 顺序排列eijk=<-\ "幺逆疗:排列0 z•,丿,疋非序排歹(J置换符号%有3个自由指标,所以共有27个分量。置换符号%的指标不取相同值且按顺序排列,取值为1,即弓23二勺31=勺12=1。如果指标,,丿必不取相同值且按逆序排列,取值为知句3=一1。顺序排列每置换一次,置换符号变号,对应着逆序排列,逆序排列的指标再置换一次,置换符号再次变号,又成为顺序排列。如果指标,,丿玄中有两个以上指标取相同值则为非序排列,置换符号取值为零。利用克氏符号定义()和置换符号定义(),作混合积:所以,置换符号弓比的值是三个任意基矢量《、S和勺的混合积。置换符号的最重要性质在于任意两个指标调换都使置换符号变号,即置换符号有关于任意两个指标的反对称性质。利用置换符号的反对称性质,可以改写矩阵的行列式和矢量的叉积展开式为代数形式。表示行列式的展开式。令Q为矩阵[陶]的行列式,则:a=a2!a22a23=勺内卩他 (1・1・12)a3!Q32 a33利用行列式两行互换变号的性质,例如细仏5%=一0=细於相当于把1、2行换行,再把2、3行换行得到智555=a=色3“,推广行列式换行变号以及两行相等行列式为零的性质,得:利用行列式两列互换变号以及两列相等行列式为零的性质,有:(1・1・14)利用爱因斯坦求和约定直接展开險〃弘舁容易证明%如产6,并利用()得:~mna~石ebmieijkaiflmjank可以把行列式换行、换列以及任意两行或两列相等时的性质,均利用置换符号来表达。将()展开成行列式的形式,即有:在()中令Q为矩阵啲行列式,其行列式的值为1,也展开成行列式的形式:51/ g 5Ueijk=匂沁爲W= 52/ 527 Z53/ L X把()和()两式相乘得:d|35%5.◎—%%如3a31a32 。33an\an2%aii aijaikpia8pjamp^pk=%%%a8叩PJanp^pk55%上式表示有27x27个等式。即克氏符号和置换符号,它们之间具有在张量表达和运算中,引进了两个重要符号,一些非常有用的关系,由()式,如果Q为矩阵[0.]的行列式则有:5i,nSin6mJ()置换符号的第三个指标为哑标时,容易得到:eijpebnp= _血0〃上式的左端有4个自由指标,则右端是取四个指标的排列顺序按照“前前后后•内内外外”()的规则可得。由上式推论:勺陽=2氐()置换符号可用于表示矢量叉积的展开式。令三个矢量的关系为c=axbf其中每个矢量可有基矢量表为a=a£、b=bjj、c=ckek,根据矢量的叉积公式,其行列式表示为:c=axb=ata2a3 (LL23)blb2b3利用置换符号,容易推得叉积的解析形式为:c=axb=(a〕eJ+a2e2+a3e3)x(b}e,+b2e2+b3e?)=(冬為-a3b2)e]+ +(。為-0曲)s ()=5+勺jkos勺+勺胛心5=勺wA勺第二节坐标变换当讨论笛卡尔张量时,所谓坐标变换,是指由一个直角坐标系变为另一个直角坐标系。这种变换,可藉由对旧坐标系的平移、旋转、反射来达到。对平移这类变换将不去研究,而反射变换的结果,是把一个右手系变为左手系。下面仅研究坐标系绕原点的旋转变换。取空间一点O为坐标原点,过O点取三个互相垂直的单位矢量勺、勺、勺为坐标系的基矢量,建立笛卡尔坐标系。将该坐标系绕原点O旋转,得到一个新坐标系,新坐标系的基矢量为即、勺,、勺。由于空间中每一个矢量都可表示成坐标系基矢量的线性组合,因此新坐标系的基矢量可写成:ev=aV]e}+aV2e2+cxV3e3S=QyG+。2迢+S©ey=+(x32e2+cx33e3上式可以写成:()0,,是新坐标系基矢量的分量,也决定了新坐标系对旧坐标系的旋转变换程度,称为变换系数。为了确定变换系数,用哦同时点乘上式,有:印•ek=aiJeJ-ek=arjsjk=%(