文档介绍：带警戒限的均值控制图中平均链长的计算公式Ξ带警戒限的均值控制图中平均链长的计算公式汪仁官,王振羽()苏州大学,苏州215006()摘要:带警戒限的均值控制图中,平均链长ARLAverageRunLength是其重要特性。本文利用()转移概率流图TPFGTransitionProbabilityFlowGraphs方法导出了关于ARL的一般公式。关键词:均值控制图;平均链长;转移概率流图中图分类号:O212;C811文献标识码:A前言带警戒限的均值控制图与常规均值控制图相比,使用起来更为方便,判断更为简单。早在121985年,就有相应的国家标准GB/T4886-85发布并实施。1993年,有关的国际标准问世。近期国家技术监督局将出台修订版。在带警戒限的均值控制图中,平均链长ARL是其重要而基本的特性,是制定标准的基础。可以利用马尔可夫链理论来导出多种情形下的ARL的计算公式,但表达式繁杂,且不易统一,很难得到一般公式。3456本文利用转移概率流图TPFG方法得到了计算各种情形下ARL的公式,形式简单划一。同时表明,TPFG方法不仅对两个出口的流图是简单有效的工具,对多个出口的情况也同样适用。一、()为简单计,仅讨论上限的情形,就是由两()条水平线行动限与警戒限将控制图分为三个区域:目标区域T,警戒区域W,行动+()区域A见图1。实际运行时,若有某点+落在A,就表示过程失控,需查明原因,并+加以纠正;若有K个连续点落在W,也表+示过程失控,需查明原因并加以纠正。图1单侧情形控制图的三个区域2()(μσ),N,,,则样本均值X?,已知2σμ()N,。记n))()()((PrX??T=p,PrX??W=q,PrX??A=r=1-p-q++易知,p,q与B,B的关系如下:12Φ(δ)p=B-n2Φ(δ)Φ(δ)q=B-n-B-n12()1μμ-0Φ()δ其中=,?=,其中点A是起始点,点C为失控点,点B为警戒点。。由此得A?C的转移概率母函数2()rx+qr+qx()()Fx=Fx=1A?C()1-px1+qx()易算得注意:r=1-p-qq1+()F′1=1()1-p1+qq1+(δ)因此,ARL=()1-p1+,=,。由此得k-1k-1kk()rx1+qx++qx+qx()()Fx=Fx=2A?Ck-1k-1()1-px1+qx++qxkq1-(δ)()()于是易算得ARL=F′1=22k()1-q-p1-、(形,就是由四条水平线两条行动限与两条)警戒限将控制图分为五个区域:目标区域T,警戒区域W、W,行动区域A、A+-+-()见图4。实际运行时,若有某点落在A+或A,就表示过程失控,需查明原因,并-加以纠正;若有K个连续点落在W或K+个连续点落在W,也表示过程失控,需查-明原因并加以纠正。图4双侧情形控制图的五个区域()?X?T=p,)()(PrX??W=q,Pr?X?W=q+1-2(())PrX??AUA=r+-2σ)(μ由?X,N,可知,p,q,q,r与B,B的关系如下:1212n(δ)(δ)p=ФB-n+ФB+n-122(δ)(δ)q=ФB-n-ФB-nq1122()3(δ)(δ)=ФB+n-ФB+nr=1-12p-q-q12μμ-0δ其中==2情形的ARL图5为双侧情形K=2时的TPFG。与单侧情形不同的是,这里有两个警戒点B,B,用12以区分W、W,为求从A到C的转移概率母函数,我们将图5进行如下的分解:+-()A点的环路:;()?B?A;1()?B?B?A;12()?B?A;2()?B?B?A;21()A?C:;()?B?C;1()?B?B?C;12()?B?C;2()?B?C。?B21图5双侧情形,K=2时的TPFG()()()()()()()()、、、、、、、()()()()()()()()()()qxr+qxqxqxr+qxqxr+qxqxqxr+qx1112222211rx++++()()()()()()()()1-qxqx1-qxqx1-qxqx1-qxqx12121212()())(Fx?Fx