文档介绍：第四章向量组的线性相关性
,
求及.
解
,
,,求
解由整理得
:
(1)若向量组是线性相关的,则可由线性表示.
(2)若有不全为0的数使
成立,则线性相关, 亦线性相关.
(3)若只有当全为0时,等式
才能成立,则线性无关, 亦线性无关.
(4)若线性相关, 亦线性相关,则有不全为0的数,
使
同时成立.
解(1) 设
满足线性相关,但不能由线性表示.
(2) 有不全为零的数使
原式可化为
取
其中为单位向量,则上式成立,而
,均线性相关
(3) 由(仅当)
线性无关
取
取为线性无关组
满足以上条件,但不能说是线性无关的.
(4)
与题设矛盾.
,证明向量组
线性相关.
证明设有使得
则
(1) 若线性相关,则存在不全为零的数,
;;;;
由不全为零,知不全为零,即线性相
关.
(2) 若线性无关,则
由知此齐次方程存在非零解
则线性相关.
综合得证.
,且向量组
线性无关,证明向量组线性无关.
证明设则
因向量组线性无关,故
因为故方程组只有零解
则所以线性无关
:
(1) ; (2) .
解(1)
所以第1、2、3列构成一个最大无关组.
(2)
,
所以第1、2、3列构成一个最大无关组.
,并求一个最大无关组:
(1) ,,;
(2) ,,.
解(1) 线性相关.
由
秩为2,一组最大线性无关组为.
(2)
秩为2,最大线性无关组为.
,已知维单位坐标向量能
由它们线性表示,证明线性无关.
证明维单位向量线性无关
不妨设:
所以
两边取行列式,得
由
即维向量组所构成矩阵的秩为
故线性无关.
,证明它们线性无关的充分必要条件
是:任一维向量都可由它们线性表示.
证明设为一组维单位向量,对于任意维向量
则有即任一维向量都
可由单位向量线性表示.
线性无关,且能由单位向量线性表示,即
故
两边取行列式,得
由
令则
由
即都能由线性表示,因为任一维向量能由单
位向量线性表示,故任一维向量都可以由线性表示.
已知任一维向量都可由线性表示,则单位向量组:
可由线性表示,由8题知线性无关.
:的秩为,向量组:的秩
向量组: 的秩,证明
证明设的最大线性无关组分别为,含有的向量个数
(秩)分别为,则分别与等价,易知均可由
线性表示,则秩()秩(),秩()秩(),即
设与中的向量共同构成向量组,则均可由线性表示,
即可由线性表示,从而可由线性表示,所以秩()秩(),
为阶矩阵,所以秩()即.
.
证明:设
且行向量组的最大无关组分别为
显然,存在矩阵,使得
,
因此
,
其中为矩阵,且组线性无关。证明组线性无关的充分必要条
件是矩阵的秩.
证明若组线性无关
令则有
由定理知
由组:线性无关知,故.
又知为阶矩阵则
由于向量组:能由向量组:线性表示,则
综上所述知即.
若
令,其中为实数
则有
又,则
由于线性无关,所以
即(1)
由于则(1)式等价于下列方程组:
由于
,
证毕.
问是不是向量空间?为什么?
证明集合成为向量空间只需满足条件:
若,则
若,则
是向量空间,因为:
且
故
故
不是向量空间,因为:
故
故当时,
:由所生成的向量空间就
是.
证明设
,且秩为3,
所以为此三维空间的一组基,故由所生成的向量空间
就是.
,由
所生成的向量空间记作,试证
.
证明设
任取中一向量,可写成,
要证,从而得
由得
上式中,把看成已知数,把看成未知数
有唯一解
同理可证: ()
故
,并把
用这个基线性表示.
解由于
即矩阵的秩为3
故线性无关,则为的一个基.
设,则
故
设,则
故线性表示为
: