函数展成幂级数-课件PPT（精品）.ppt

文档介绍：第四节函数展开成幂级数第四节函数展开成幂级数前面研究的是幂级数的收敛域及和函数,现在反过来,某个函数是否可以在某个区间内用幂级数表示一. 泰勒级数第三章研究过泰勒公式:)()(! )( )(!2 )() )(()()( 0 0 )( 20 0000xRxxn xf xx xfxxxfxfxf n n n???????????????其中 f(x) 在的某邻域内具有 n+ 1阶导数. 0x余项此时, f(x) 可以用前 n+ 1项近似表示,误差为|)(|xR n 由此引入泰勒级数:1. 定义若 f(x) 在的某邻域内具有各阶导数,则 0x????????????????? n nxxn xf xx xfxxxfxf)(! )( )(!2 )() )(()( 0 0 )( 20 00000 0?x f(x) 在的泰勒级数 0x???? 0 0 0 )()(! )(~)( n n nxxn xfxf???0 )(! )0(~)( n n nxn fxf泰勒系数麦克劳林级数 2. 泰勒定理:若 f(x) 在的某邻域内具有各阶导数, 0x0)( lim ????xR nn(由泰勒公式很容易得出结论,证明略) 注: (1) 则 f(x) 在的泰勒级数在该邻域内收敛于 f(x) 0x若 f(x) 在的泰勒级数收敛于 f(x) ,即 0x????? 0 0 0 )()(! )()( n n nxxn xfxf泰勒展开式( 2) 如果函数可以展开成幂级数,则展开式唯一. 则称 f(x) 在可以展开成泰勒级数 0x 二. 函数展开成幂级数主要研究函数如何展开成 x 的幂级数. 麦克劳林级数 0 0?x1. 直接展开法( 1) 求出?????????),(, ),( ),( )(xfxfxf n如果某阶导数不存在,说明不能展开( 2) 求出?????????),0(, ),0( ),0( ),0( )(nffff(3) ?????????????? n nxn fx fxff! )0(!2 )0()0()0( )(2求出收敛半径 R ( 4) 在(- R,R) 内,如果 0)( lim ???xR nn则 f(x) 例将函数展开成 x 的幂级数 xexf?)( ).1(,...) 2,1(,)( )(??nexf xn,...) 2,1(,1)0()0( )(???nff n????????????!!2 1 2n xxx n收敛半径???R 1 )!1( |)(| ??? n nxn exR ?)0(, )!1( || 1||xn xe nx???????有限趋于零,因为收敛????? 0 1 )!1( || n nn x 所以 0)( lim ???xR nn)(,!!2 1 2 ??????????????????xn xxxe n x xxf sin )( ).2(?,...) 2,1( ),2 sin( )(???n nxxf n?,...) 2,1,0,...( 1,0,1,0)0( )(???nf n(循环) ????????????????)!12( )1(!5!3 121 53n xxxx nn收敛半径???R 1 )!1( )2 1 sin( |)(| ????? n nxn nxR ??)0(, )!1( || 1xn x n??????所以 0)( lim ???xR nn0 )(, )!12( )1( 0 121?????????????xn x n nn)11(,! )1()2 )(1( !3 )2 )(1(!2 )1(1)1 ).(3( 3 2???????????????????????????xxn n xxxx n???????????牛顿二项式级数注: α>-1时,展式在 x = 1成立;α>0时,展式在 x = -( 1). 逐项积分,逐项求导法(2)变量替换法(3)四则运算法例将函数展开成 x 的幂级数 xxf cos )( ).1(?) (sin cos ??xx) )!12( )1(!5!3 ( 121 53?????????????????n xxxx nn)(,!2 )1(!4!2 1 2 42??????????????????xn xxx nn)1 ln( )( ).2(xxf??)11(,)1(1 1 0?????????xxx n nn???? x dxx x 01 1)1 ln(])1([ 0 0?????? n xnndxx)11(???x?????? 1 1)1( n nnn x 2)( ).3( xexf ???????????????!!2 1 2n ttte n t 2xe ?)(,! )1(!3!